Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений

1º. Равенство функций называется уравнением с одной переменной.

Множество всех значений неизвестного х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Чтобы найти ОДЗ уравнения, необходимо найти пересечение областей определения функций f(x) и g(x).

Число х из ОДЗ уравнения называется корнем ( или решением) уравнения, если при подстановке его в уравнение вместо неизвестного уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет.

2º. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Процесс решения уравнения, в идеале, это цепочка переходов от исходного уравнения к равносильным, приводящая с помощью равносильных преобразований к такому уравнению, для которого множество решений может быть найдено. В общем случае над уравнениями можно выполнять только такие преобразования, которые не нарушают равносильности или нарушают ее, приводя к приобретению посторонних корней. Последние должны быть выявлены путем проверки и отброшены.