Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Доказать, что влюбом графе число вершин нечетной степени может быть только четным.
2. Рассмотрим на множестве вершин произвольного графа бинарное отношение смежности: будем считать, что вершины связаны этим отношением, если они соединены ребром. Нарисуйте диаграмму графа, для которого отношение смежности будет:
а) рефлексивным, но не транзитивным;
б) транзитивным, но не рефлексивным;
в) отношением эквивалентности.
3. Пусть - полный граф с множеством вершин и множеством ребер .
а) Сколько у графа подграфов с тем же множеством вершин, что и у графа ?
б) Сколько у графа всего подграфов?
4. Доказать, что если графы и изоморфны и одно из ребер графа есть петля, то одно из ребер графа также является петлей.
5. Доказать, что если графы и изоморфны и - взаимно однозначное отображение в этом изоморфизме, то для любой вершины графа выполняется равенство .
6. Доказать, что если графы и изоморфны и на графе есть цикл длины , то и на графе также есть цикл длины .
7. Назовем декартовым произведением графов и граф , вершинами которого являются упорядоченные пары вида , где , и в котором вершины и смежные в точности в одном из двух случаев: 1) и - смежные вершины в графе , а ; 2) и - смежные вершины в графе , а .
а) Пусть - граф вершинами и и ребром , а - граф с вершинами , , и ребрами , Построить диаграмму графа .
б) Пусть - граф вершинами 0 и 1 и ребром . Построить диаграммы графов , , .
в) Построить диаграмму графа .
8. Определим по индукции граф : пусть - граф вершинами 0 и 1 и ребром ; тогда для любого натурального . Найти число вершин и ребер графа .
9. Пусть - обыкновенный граф, - матрица смежности этого графа, отвечающая некоторой нумерации вершин , , …, . Выразить через число вершин, ребер или степени вершин следующие суммы:
а) ; б) .
10. Сколько существует обыкновенных графов, у которых вершин (вершины помечены)? Сколько из них имеет ровно ребер?
11. Доказать, что в любом обыкновенном графе, содержащем более одной вершины, найдутся две различные вершины одинаковой степени.
12. Пусть - обыкновенный граф, - матрица смежности этого графа, отвечающая некоторой нумерации вершин , , …, .
а) Как по матрице определить число путей длины из в .
б) Как в случае связного обыкновенного графа по матрице определить длину кратчайшего пути между вершинами и ()?
13. Доказать, что замкнутый путь нечетной длины содержит простой цикл. Верно ли аналогичное утверждение для замкнутых путей произвольной длины?
14. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:
а) объединение любых двух различных цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл;
б) объединение двух различных простых цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл.
15. Доказать или опровергнуть следующее утверждение: граф связен тогда и только тогда, когда для любого разбиения множества на два подмножества и существует ребро графа , соединяющее некоторую вершину из с некоторой вершиной из .
16. Показать, что связный граф с вершинами содержит не менее ребер.
17. Доказать, что в связном графе любые две простые цепи максимальной длины имеют по крайней мере одну общую вершину.
18. Показать, что графе с вершинами и двумя компонентами связности число ребер не более .
19. Доказать, что обыкновенный граф, имеющий более ребер (), является связным.
20. Сколько существует попарно неизоморфных обыкновенных графов с 16 вершинами и 118 ребрами?
21. Пусть , , …, - все компоненты связности графа . Доказать, что .
22. Опираясь на теорему о характеристических свойствах деревьев, доказать, что граф , имеющий компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда .
23. Опираясь на теорему о характеристических свойствах деревьев, доказать, что если степень каждой вершины неориентированного графа не меньше двух, то он содержит цикл.
24. Используя теорему Кирхгофа, показать, что число остовов в полном графе с помеченными вершинами равно .
25. Рассмотрим на множестве графов бинарное отношение гомеоморфизма (пара графов и связана этим отношением, если гомеоморфен ). Какими свойствами это бинарное отношение обладает?
26. Какие из графов, изображенных на рис. 10 – 12, являются планарными?
Рис. 10 | Рис. 11 | Рис. 12 |
27. При каких ( - число квадратов) граф, изображенный на рис. 13, является планарным?
28. При каких ( - число квадратов) граф, изображенный на рис. 14, является планарным?
Рис. 13 | Рис. 14 |
29. При каких и граф является планарным?
30. Доказать, что граф непланарен.
31. Доказать, что изоморфные графы имеют одинаковые хроматические числа.
32. Найти хроматическое число графа:
а) ; б) ; в) .
33. Доказать, что для любого натурального найдется обыкновенный граф с вершинами и ребрами, не имеющий циклов нечетной длины.
34. Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:
а) графа, все ребра которого мосты;
в) графа, имеющего 11 вершин, 10 ребер и состоящего из 4-х компонент связности.
35. Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
36. Сколько всего обобщенных циклов имеет граф , если ?
37. Пусть - обыкновенный ориентированный граф, - матрица смежности этого графа, отвечающая некоторой нумерации вершин , , …, . Выразить через число вершин, дуг или степени вершин следующие суммы:
а) ; б) ; в) .
38. Пусть - обыкновенный ориентированный граф, - матрица смежности этого графа, отвечающая некоторой нумерации вершин , , …, .
а) Как по матрице определить число путей длины , ведущих из вершину в вершину ?
б) Как в случае сильно связного ориентированного обыкновенного графа по матрице определить длину кратчайшего по числу дуг пути между вершинами и ()?
39. Построить минимальные УБДР функции относительно порядка:
а) ; б) .
40. Построить минимальную УБДР относительно порядка для функции , заданной формулой:
а) ; б) .
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 1209 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!