Краткие теоретические сведения. Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и

Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебаний.

Рассмотрим, как распространяются волны по струне. Для этого оттянем струну, а затем ее отпустим. Созданное нами возмущение передвигается по струне, не меняя своей формы. Такое перемещающееся возмущение называется бегущей волной. В нашем случае отклонение частиц струны происходит в направлении, перпендикулярном направлению движения волны (направлению струны). Такие волны называются поперечными.

Скорость, с которой передвигается возмущение по струне, называется скоростью волны. Обозначим ее буквой u. Эта скорость не имеет ничего общего со скоростью u, которую приобретают частицы струны в процессе прохождения волны. Эти две скорости в поперечной волне перпендикулярны друг другу. Не равны и их численные величины. Скорость u зависит от того, насколько сильно была оттянута струна перед тем, как ее отпустили. Эта скорость непрерывно меняется во времени и меняет знак, когда частицы струны изменяют направление своего движения. Скорость волны u определяется только плотностью материала струны и ее натяжением.

Запишем уравнения для двух плоских гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

y ₁ = A cos(ω t − kx), (1)

y ₂ = A cos(ω t + kx), (2)

где y ₁, y ₂ – смещение точек струны от положения равновесия; А – амплитуда; w – круговая частота колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ).

Волна (1) перемещается в сторону увеличения х, волна (2) – в сторону уменьшения х; х – координата колеблющейся точки.

Сложив эти уравнения и, преобразовав результат по формуле для суммы

косинусов, получим уравнение стоячей волны

y = y ₁ + y ₂ = 2 A cos(kx)·cosω t. (3)

Заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (3) примет вид

Y

y = (2 A cos2π x /λ)cosω t. (4)

X

Рис. 1

В стоячей волне все точки колеблются в одинаковой фазе, а их амплитуда |2 A cos(2π x /λ)| зависит от x. Все точки стоячей волны, для которых отсутствует смещение, называют узлами, а точки, в которых амплитуда колебаний максимальна – пучностями, рис. 1.

Координаты узлов стоячей волны найдем из условия

cos(2π x /λ) = 0.

Тогда

,

где n – любые целые числа (n = 0, 1, 2, 3,...). Координаты узлов имеют значения

. (5)

Аналогично получается выражение для координаты пучностей

. (6)

Из формул (5) и (6) видно, что соседние узлы или пучности в стоячей волне отстоят друг от друга на половину длины волны λ/2.

Длина волны определяется как

λ = υ /ν, (7)

где υ – скорость волны; ν – частота колебаний в герцах.

Частота колебаний, при которой на длине струны укладывается одна полуволна, называется основным тоном. Все остальные стоячие волны носят название обертонов. В нашем случае выражение (7) можно переписать

, (8)

где L – длина струны.

Тогда частота собственных колебаний струны будет

. (9)

Строгий расчет скорости распространения волны в струне приводит к дифференциальному уравнению в частных производных (к так называемому волновому уравнению). Такой расчет выходит за рамки нашего курса, поэтому для вывода применим метод анализа размерностей.

Опыт показывает, что существует зависимость частоты стоячих волн, следовательно, и скорости u, от натяжения струны, ее массы и длины. Запишем эту зависимость

, (10)

где c – безразмерный коэффициент; a, b, g – неизвестные показатели степени.

Распишем размерность правой и левой части уравнения (10):

. (11)

Равенство (11) возможно, если показатели у одноименных величин, стоящих слева и справа, равны, т. е.

. (12)

Из системы уравнений (12) находим a = − 1/2, b = 1/2, g = 1/2.

Подставляя значения a, b, g в (11), находим

(13)

При с = 1 формула (13) совпадает с теоретической.

Итак,

, (14)

где r и d – плотность материала струны и ее диаметр, соответственно; F – сила натяжения струны.