Краткие теоретические сведения. Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно

Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных законов является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:

, (1)

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.

ρ(t)

Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму – ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попа­ дающие в тот или иной из равных интервалов D t, расположенных между наименьшим и наибольшим из всех наблюдаемых значений величины t.

Гистограмму строят в следующих координатах (рис. 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – Δ N / N Δ t.

Здесь N – полное число измерений; Δ N – число результатов, попадавших в интервал

t _min < t > t _max t [ t, t + Δ t ].

Рис. 1 Частное Δ N / N определяет долю всех

результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует собой вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине заданного интервала Δ N / N Δ t называется «плотностью вероятности».

При очень большом числе измерений () вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости

. (2)

Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины

. (3)

Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>:

. (4)

Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум

(5)

при значении t = <t> и симметрична относительно < t>. Нетрудно сравнить «наибольшую высоту гистограммы» и максимальное значение функции Гаусса (5).

Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6), в котором вероятность Р ₁₂ попадания результата измерения в интервал (t ₁, t ₂), c одной стороны, может быть вычислена

как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой – найдена как относительное число наблюдений N ₁₂, результаты которых попали в этот интервал:

, (6)

При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:

t (<t> − s; <t> + s), P _s = 0,68;

t (<t> − 2s; <t> + 2s), P _2s = 0,95;

t (<t> − 3s; <t> + 3s), P _3s = 0,997.