Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1.Найдем критические точки:
Откуда получим две критические точки и .
2. Производные второго порядка:
, , .
3. В точке
, , , .
Следовательно в этой точке минимакс.
4. В точке
, , , .
Следовательно в этой точке функция имеет минимум, так как .
5. , .
17.4. Наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области
Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной области D, следует найти значения функции в экстремальных точках и на границах области. Наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в области D. При отыскании этих значений на границе области следует в уравнение подставить уравнение границы, разрешенное относительно одной переменной и рассматривать вопрос как для функции одной переменной. Покажем это на примере.
Пример 17.6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области D, заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.
Решение. Сделаем чертеж области D. Она ограничена сторонами треугольника АОВ, причем уравнение АВ: , уравнение ОВ: , уравнение АВ: (рис. 17.4).
Дальнейшее решение проведем по плану:
1. Найдем критические точки, в которых частные производные равны нулю:
Приравняем их нулю:
Решив эту систему, получим , . Точка М (8/3, 4/3) принадлежит области D.
2. Определим, будет ли в этой точке экстремум, для чего воспользуемся достаточным условием (17.1) предыдущего пункта:
,
.
Так как , следовательно, в точке М – min.
.
3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции z на границах области:
а) на границе ОА: , тогда функция , где .
Эта функция монотонно возрастает на данном отрезке, и ее наименьшее и наибольшее значения находятся на концах отрезка в точках А и О. , .
б) на границе ОВ: , поэтому , где . Найдем экстремум и значения функции на концах отрезка в т. О (0,0) и точка В (6,0).
– это точка минимума точке С, т.к. парабола с поднятыми вверх ветками имеет только минимум.
, , .
в) на границе АВ: . Запишем функцию z с учетом уравнения границы:
и .
Найдем только экстремум, так как значения функции в точках А и В были найдены выше.
.
Это тоже точка минимума, назовем ее точкой D. Найдем значение функции в этой точке:
.
г) Запишем и сравним значения функции, во всех экстремальных и граничных точках области:
, , , , , .
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в граничной точке области А и наименьшее – во внутренней точке минимума М.
Таким образом, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области свелось к функции одной переменной, с чем мы уже встречались в теме «Экстремумы функции одной переменной».
Если требуется определить наименьшее и наибольшее значение функции многих переменных, которые связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, то эта задача так и называется задачей на условные экстремумы. Она выходит за рамки рассматриваемого курса. Ее можно найти в рекомендуемой литературе.
17.5. Подбор параметров для эмпирических формул простейшего
вида по методу наименьших квадратов
Рассматривая функции одной и многих переменных по способам их задания, мы всегда переходили от одного способа к другому по цепочке
формула , причемвзаимный переход двух последних способов осуществлялся достаточно просто. Составление уравнения, связывающего две переменные величины, полученные при проведении опытов, натолкнулось на трудности двух видов.
1. Определение вида аппроксимирующей (приближенной) функции – линейной, степенной, гиперболической и т.д. Ее можно было решить из логики процесса: из теоретических соображений или на основании характера расположения точек, соответствующих экспериментальным данным.
2. Определение коэффициентов выбранной зависимости, чтобы она в каком-то смысле наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.
Для решения второй задачи разработаны различные методы корреляционного и дисперсионного анализа, в основе которых лежат два требования, предъявляемых к выбранной функции:
3. Сумма отклонений эмпирических данных от расчетных должна быть равна нулю:
. (17.2)
Это требование было необходимым, но недостаточным для того, чтобы определить коэффициенты искомой функции. Поэтому выдвинули второе требование
4. Сумма квадратов отклонений эмпирических данных от расчетных должна быть наименьшей:
. (17.3)
Отсюда название метода – метод наименьших квадратов. Покажем его действие на примере.
Пусть в результате эксперимента получено n значений функции у при соответствующих значения х. Результаты записаны в таблицу.
Таблица 17.1
… | ||||
… |
Требуется построить кривую, наилучшим образом описывающую эти данные. Она может быть любого вида – прямая, гипербола и т.д. Остановимся на простейшем – прямой, уравнение которой запишем в виде .
Рассмотрим сумму квадратов разностей значений по формуле (17.2):
. (17.3)
Подберем параметры а и b так, чтобы эта суммаимела наименьшее значение – то есть решим задачу из п. 17.3. На основании теоремы 17.1 следует, что частные производные функции S (a, b) по параметрам а и b должны быть равны нулю. Учтем, что функция S (a, b) сложная, поэтому сначала берем производную от квадрата, а потом от суммы:
(17.4)
Сократим оба уравнения на 2 и запишем их в виде системы уравнений.
(17.5)
Эта система всегда имеет решение. Для удобства ее решения в таблицу опытных данных добавим столбцы , , а также строку для записи соответствующих сумм.
Пример 17.7. В результате опыта получены следующие данные:
№ | |||||
0,25 | 2,57 | 0,6425 | 0,0625 | 0,0049 | |
0,37 | 2,31 | 0,8547 | 0,1369 | –0,0116 | |
0,44 | 2,12 | 0,9328 | 0,1936 | 0,0171 | |
0,55 | 1,92 | 1,0560 | 0,3025 | –0,0362 | |
0,60 | 1,75 | 1,050 | 0,3600 | 0,0186 | |
0,62 | 1,71 | 1,0602 | 0,3844 | 0,0125 | |
0,68 | 1,60 | 1,088 | 0,4624 | –0,0157 | |
0,70 | 1,51 | 1,0570 | 0,4900 | 0,0282 | |
0,73 | 1,50 | 1,0950 | 0,5329 | –0,0237 | |
0,75 | 1,41 | 1,0575 | 0,5625 | 0,013 | |
Сумма | 5,69 | 18,4 | 9,8937 | 3,4877 | 0,0001 |
Для нахождения коэффициентов а и b подставим в систему (17.5) найденные значения сумм и получим следующее:
Решим ее любым способом и найдем значения
а = –2,3038 и b = 3,1508.
Таким образом, искомое уравнение связи между у и х будет иметь вид
.
Построим полученную прямую (рис. 17.5).
Рис. 17.5
Для проверки правильности подобранных коэффициентов составляем разности между расчетными и табличными значениями у. Покажем, как это делается.
Если х = 0,25, то
, .
Если х = 0,37, то
,
и т.д.
Суммарная ошибка отлична от нуля в четвертом знаке после запятой, а исходные данные имели два знака, поэтому в условиях нашего опыта можно считать, что ошибка приближения практически равна нулю.
Если за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени
, (17.6)
то выражение (17.3) запишется в виде
, (17.7)
а соответствующая система (17.4) будет иметь три уравнения с тремя неизвестными a,b,c
Сейчас подбор вида и коэффициентов соответствующей функциональной зависимости можно осуществить на компьютере. В основе практически всех программ и «Exсel» и «Статистика» лежит проверенный метод наименьших квадратов.
На этом мы заканчиваем тему «Функции многих переменных». Последняя лекция проиллюстрировала всеобщий закон развития: количество рождает новое качество. Две независимые переменные привели две частных производных первого порядка и четыре – второго. Появились чистые и смешанные производные высших порядков, производная по направлению и градиент. К привычным со школы минимуму и максимуму присоединился минимакс. О, сколько нам открытий чудных …. И это – правда. Готовит.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 471 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!