Введение. Математический анализ - часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Математический анализ - часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. Название "Математический анализ" - сокращенное видоизменение старого названия этой части математики - "Анализ бесконечно малых"; полнее раскрывает содержание, но оно - тоже сокращенное (название "Анализ посредством бесконечно малых" охарактеризовало бы предмет более точно). В классическом математическом анализе объектами изучения (анализа) являются прежде всего функции. "прежде всего" потому, что развитие математического анализа привело к возможности изучения его методами более сложных образований, чем функция, - функционалов, операторов и т. д.

В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями; законы явлений природы также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Математический анализ в широком понимании этого термина охватывает весьма большую часть математики. В него входят числовые последовательности и пределы, теория функций действительной одной переменной и нескольких переменных, дифференциальное и интегральное исчисление, функций функции комплексного переменного, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений с частными производными, теория числовых и функциональных рядов, теория интегральных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, функциональный анализ и некоторые другие математические дисциплины. Современные теория чисел и теория вероятностей применяют и развивают методы математического анализа.

Все же термин математического анализа в современной программе для бакалавров употребляется для наименования только основ математического анализа, объединяющих в себе теорию действительного числа, теорию пределов числовой последовательности, общую теорию функций в том числе из элементарной математики тригонометрические логарифмические функции, теория неявных функций, функции, заданные параметрами, асимптоты функций и т.д..

Особое внимание в пособии уделено дифференциальному и интегральному исчислению. Прежде всего понятию производной и её геометрический и физический смысл. В программе средней школы имеется раздел, посвящённый производной функции, однако, как практика показывает, студенты первого курса не владеют техникой вычисления производной элементарных функций и особенно сложных функций. В связи с этим в пособие излагаются краткие основы теории функций, теоремы с доказательством и без доказательства, много примеров с решением и для самостоятельной работы, посвящённых технике дифференцирования одной переменной и нескольких переменных, дифференциалу функций и применение его в расчётах, исследованию функций с помощью производной первого порядка и высших порядков, экстремальные задачи для определения максимума и минимума функций и т.д..

Второй по значимости раздел в пособии посвящён интегральному исчислению, прежде всего понятию неопределённого и определённого интеграла, их свойствам, технике интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, интегрирование некоторых тригонометрических функций) и использование интегралов для решения практических задач (вычисление площади плоских фигур, объёмов тел вращения, длины кривой, массы тела и др).

Можно сказать, что совсем новой темой для студентов является раздел, посвящённый дифференциальным уравнениям. В пособии кратко изложены основные понятия обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решений (разделение переменных, однородные и неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и др.).

Из теории рядов изложены основы числовых рядов, их сходимость и разложение некоторых стандартных функций в степенной рядов Маклорена.