Неадекватная символизация Адекватная символизация 2 страница

По мнению Лесьневского можно сформулировать три различные концепции, отвечающие на поставленные вопросы. Концепция A. Эта концепция состоит в признании того, что знак "├" утверждает то же, что оборот "утверждается, что", а все выражение "├.p" - то же, что оборот "утверждается, что p". Поэтому, если выражение "p" является предложением, то выражение "├.p" имеет тот же смысл, что и предложение "утверждается, что p", но иной смысл, нежели предложение "p". Аксиомами и теоремами являются полностью выражения типа "├.p". Концепция B. Знак утверждения значит то же, что оборот "тем, что написано, утверждается", а выражение типа "├.p" может быть прочитано при помощи этого оборота так: "тем, что написано, утверждается p". Если "p" - предложение, то выражение "├.p" не является предложением. Оно состоит из трех частей. Знак утверждения является предложением, состоящим из одного выражения, которому в естественном языке соответствует предложение "тем, что написано, утверждается"; следующей частью является точка (набор точек), а третьей - предложение "p". Эта целостность, не будучи предложением, не может иметь того же смысла, что предложение "p". В связи с этим аксиомами и теоремами не являются выражения типа "├.p", но части этих выражений, следующие после знака утверждения и точек. Концепция C. Смысл выражения "├.p" такой же, как и предложения "p", а выражения типа "├.p" можно без изменения их смысла прочитать так же, как их части. т.е. выражения типа "p". Поэтому выражения типа "├.p", а так же аксиомы и теоремы суть предложения системы. При этом приходится домысливать, что использование знака утверждения является для читателя указанием того, что в системе приняты те и только те предложения, которые содержат знак утверждения.

Все три решения, по мнению Лесьневского, вызывают серьезные опасения. Касательно концепции A, следует заметить, что, если выражения типа "├.p" имеют тот же смысл, что оборот "утверждается, что p", то тогда эти предложения являются предложениями о создателях системы; множество таких предложений вообще не является системой логики, но "дедуктивной исповедью создателей теории комментариев". Относительно концепций B и C Лесьневский замечает, что, если знак утверждения должен выполнять профилактическую роль, устраняя сомнения читателя относительно того, утверждается ли некоторое символическое предложение, то Рассел и Уайтхед, поступают непоследовательно, поскольку снабжают знаком утверждения предложения, которых не утверждают в системе, как например тогда, когда знак утверждения предшествует последовательности некоторых предложений, которые не являются теоремами логики.

Далее Лесьневский занимается анализом смысла отрицания. Поводом является следующая дефиниция в "Принципах математики": ".p É q.=.ù pÚq." В связи с этой дефиницией предложения типа "q. É.pÚr" можно интерпретировать при помощи предложений типа (1) ù q. Ú.pÚ r. Каков здесь смысл отрицания? - спрашивает Лесьневский. Рассел и Уайтхед считают, что символ "ù p" представляет предложение "не-p" или "p есть ложь". Но, если выражение "p" есть предложение, то предложение типа "p есть ложь" может иметь смысл только тогда, когда "p" субъект предложения "p есть ложь" выступает в материальной суппозиции (упоминается). В конечном счете предложение "p есть ложь" является предложением о предложении "p", значащим то же, что предложение "<p> есть ложь"; субъект этого предложения, т.е. выражение "<p>" есть имя предложения "p" и не выступает, очевидно, в материальной суппозиции. Лесьневский вменяет авторам "Принципов" чрезмерно небрежное пользование кавычками. А это приводит к тому, что читатель вынужден додумывать, что предложение "p есть ложь" и предложение "<p> есть ложь" значат одно и то же. В конечном счете из предложения (1) мы получаем два предложения, которые являются интерпретациями выражения "ù q. Ú.pÚ r":

(2) не-q. Ú.pÚ r,

(3) "q" есть ложь. Ú.pÚ r.

Аналогичная ситуация возникает при интерпретации выражений типа "pÚq", которые Рассел и Уайтхед отождествляют с предложением "p есть истина или q есть истина". Но к "p есть истина" применимы возражения, аналогичные тем, которые были применимы к "p есть ложь", вследствие которых рассматриваемое предложение интерпретируется как "<p> есть истина". Применяя к (2) и (3) различные комбинации оценок и трактовок модусов выражений "p" и "q" в интерпретации выражения "pÚq" мы получим, замечает Лесьневский, другие способы прочтения этих предложений, а прочие появляются тогда, когда мы захотим "q есть ложь" заменить предложением "не-q есть истина"; вобщем Лесьневский приводит 17 интерпретаций предложения типа "q. É.pÚ r" и все они могут быть на основе этой металогики считаться равнозначными.

Суммируя критические замечания, Лесьневский писал: "Общаясь более или менее систематически с работой гг. Уайтхеда и Рассела с 1914 г. лично я лишь через четыре года уразумел, что образцы т.н. теории дедукции при не обращении внимания на знаки утверждения становятся понятными и "начинают держаться вместе", если входящие в их состав предложения типа "ù p", "pÚq", "pÉq" и т.д. последовательно интерпретировать при помощи соответствующих предложений типа "не-p", "p или q", "если p, то q" и т.д., дополненных в случае возможных недоразумений кавычками, и ни в коем случае - вопреки комментариям авторов - я не считаю допустимым прочтение указанных примеров при помощи предложений, касающихся предложений же и утверждающих какие-либо отношения, как, например, отношение "импликации" между предложениями". ([1927], S.181)

Эти размышления Лесьневского, написанные в 1927 г. и относящиеся к периоду 1917-1918 гг. привели его к ряду фундаментальных идей. Одной из важнейших было последовательное различение языка и метаязыка: предложение "если p, то q" принадлежит к языку, а предложение "если <p> истинно, то <q> истинно" - к метаязыку. Логическая система должна конструироваться в предметном языке, а комментироваться - в метаязыке; смешение языка с метаязыком приводит к недоразумениям и неясностям. Выяснивши для себя ситуацию с предметным языком и языком комментариев к нему (метаязыком) Лесьневский "ощутил доверие" к символическому языку, к которому ранее относился скептически.

И наконец, последний "урок", который извлек для себя Лесьневский из штудий "Принципов математики". Речь идет о проблеме экстенсиональности. Комментируя труд Рассела и Уайтхеда Лесьневский указал на трудности, которые возникают в связи с оборотом "утверждается, что". Напомним, что по его мнению прочтение утверждений логики при помощи этого оборота приводит к пониманию логики как "дедуктивной исповеди создателей теории комментариев". Выражение "утверждается, что" является интенсиональным оператором, а его употребление приводит, кроме трудностей с подстановкой, к психологизму. Отвращение к интенсиональным операторам (или функторам, как их называет польская традиция) у Лесьневского так сильно было развито, что интенсиональные контексты он считал вообще лежащими вне сферы логики. Для Лесьневского термин "логика" был просто равнозначен термину "экстенсиональная логика".

Итак, результатами критики Лесьневским "Принципов математики" оказались два важных положения: во-первых, разделение языка и метаязыка и, во-вторых, убеждение в экстенсиональности всей логики.

§ 4. Мереология.

Другим важным следствием критического прочтения "Принципов математики" Уайтхеда и Рассела было исследование антиномии множества множеств, не являющихся собственными элементами. Лесьневский заимствует у Рассела саму идею типа, создав свою иерархию сугубо синтаксических категорий. Антиномия Рассела ликвидируется запретом приписывать предметам, посредством высказываемых предложений, свойства, принадлежащие различным уровням иерархии логических типов. С формальной точки зрения, считает Лесьневский, теория типов Рассела является сложным образованием и вызывает интерпретационные неясности, поскольку из различных высказываний Рассела можно заключить, что его теория, с одной стороны, является онтологической, т.к. подразделяет предметы на типы, а с другой - теорией семантической, ибо делит сами выражения на типы. Этот гибридный "онтологическо-семантический" характер теории типов не отвечал интенциям Лесьневского. В результате критического анализа теории типов он разделил синтаксическую их составляющую, воплощенную в иерархии категорий, главным образом, Прототетики, и предметную, ставшую ядром Мереологии.

Предметные категории носили вспомогательный характер и их состав менялся от одной аксиоматики Мереологии к другой. Стремление построить "общую теорию множеств" аксиоматически привело Лесьневского к принятию единственной неопределяемой предметной категории "часть", тогда как другие, как например, ингредиенс, элемент, класс и т.п. вводились определениями. Синтаксические же категории носят исключительно лингвистический характер, т.е. касаются исключительно выражений, а не предметов. Лесьневский ([1929], S.14) называет источники, которые сформировали его взгляд на синтаксические категории, называемыми впрочем, "семантическими категориями"; среди них теория типов Рассела, теория категорий Аристотеля, а также теория значений Гуссерля. Теория семантических категорий является естественным обобщением грамматической классификации выражений на части речи. Согласно концепции Лесьневского каждое выражение, понимаемое как конечная последовательность инскрипций, принадлежит одной и только одной семантической категории; ни одна конкретная запись не может принадлежать к двум различным категориям. В формализме Лесьневского система категорий образует бесконечную иерархию и может быть бесконечно расширена. Основными категориями Прототетики и Онтологии являются три категории: предложения, имена и различные функторы; категория имен монолитна и не содержит различий имен на единичные (индивидуальные) и общие.

В определенной степени Мереология может рассматриваться как продолжение критики теории общих предметов Твардовского, а особенно Мейнонга в раннем периоде творчества Лесьневского. Исходным пунктом построений "общей теории множеств", называемой в последующих вариантах Мереологией, была позиция несогласия с "интуицией "большинства"", по мнению которого существуют какие-то два различных друг от друга предмета такие, что один из этих предметов является множеством, содержащим второй из них, как свой единственный элемент". ([1928], S.262) Сомнение Лесьневского вызывало само существование предмета, называемого множеством, что и составляло его интуитивное представление о множествах, причем такой предмет как множество должен существовать реально, ибо пустых множеств Мереология не допускает. В конечном счете подобные проверки существования должны проводиться при помощи предложений вида "А есть b", а они уводят посредством процесса переименования ad infinitum, причем в сторону, обратную процессу редукции "A" к b, существование которого, т.е. "b" единственно и может проверяться. Поскольку задачей Лесьневского было аксиоматическое описание предмета, называемого множеством, классом, агрегатом и т.п., и при этом имя такого класса должно употребляться, а не упоминаться, то формулирование аксиом при помощи выражений типа <"А" есть b. > вызывает определенные трудности. Обратимся сначала к сказуемому таких предложений и отметим, что модус использования сказуемого актуализируется различными терминами, используемыми часто как неопределяемые, например, множество, предмет, а иногда - как определяемые, например, ингредиенс, элемент, косвенно свидетельствующими о существовании. Приведем в качестве примера аксиоматику "Оснований общей теории множеств.I" (Москва, 1916):

Аксиома I. Если P есть часть предмета Q, то Q не есть часть предмета P.

Аксиома II. Если P есть часть предмета Q, а также Q есть часть предмета R, то P есть часть предмета R.

Дефиниция I. P есть ингредиенс предмета Q тогда и только тогда, когда P есть тем же предметом, что Q, либо является частью Q.

Дефиниция II. P есть класс предметов a тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: a) P есть предмет; b) каждое а есть ингредиенс предмета P; с) для всякого Q, если Q не есть ингредиенс предмета P, то некоторый ингредиенс предмета Q есть ингредиенс некоторого а.

Аксиома III. Если P есть класс предметов а, а также Q есть класс предметов а, то P есть Q.

Аксиома IV. Если некоторый предмет есть а, то некоторый предмет есть класс предметов а.

Из многих аксиоматик Мереологии, увидевших свет на протяжении 1916-1930 гг. ни одна не оказалась формализованной, как кажется, по причине разнородности используемых модусов терминов в "единичных предложениях" вида <"A" есть b. >. Именно по этой причине для достижения цели Мереологии, т.е. представления термина для субъекта номинального суждения в функции употребления его приходится перемещать на место сказуемого с использованием указанного выше приема актуализации. Короче говоря, схема <"A" b. > неявно дополняется схемой <"A" a. > в виде формулировок, совершаемых по схеме "$ X(X есть а).^[151] Однако легко видеть, что принятие Лесьневским обозначений подлежащего "А" и сказуемого "а" в последовательности переименований "не стыкуются". Более того, из прочтения работы, посвященной Мереологии может возникнуть впечатление, что в действительности "единичные предложения" должны записываться в виде < a есть "А">, т.е. что < a. > является элементом "А", столько в ней встречается записей вида "а есть b", "X есть Y" или словесных формулировок вроде "каждое а есть ингредиенс предмета P". Но следует отдать должное последовательной интуиции Лесьневского и все же отметить, что записи <a есть A> отыскать не удалось.

Переходя к онтическому статусу подлежащего обратимся к объяснениям автора Мереологии, которые большей частью вынесены в комментарии. И это неудивительно, ибо где же можно еще объяснить статус термина, который фактически упоминается, тогда как он должен использоваться. Приведем некоторые пояснения "единичных предложений", что несомненно послужит лучшему пониманию намерений их автора. Лесьневский пишет: "Предложениями типа "А не есть b" я пользовался при написании реферируемой работы ("Основы общей теории множеств. I - Б.Д.) и пользуюсь здесь как эквивалентом соответствующих предложений типа "А есть предмет и не (А есть b)", но не соответствующими предложениями типа "не (А есть b)". ([1928], S.262) Аналогично предыдущему и следующее замечание на полях: "Предложениями типа "каждое а есть b" я пользовался при написании реферируемой работы и пользуюсь здесь как эквивалентами соответствующих предложений типа "некоторый предмет есть а и при всяком X, - если X есть а, то X есть b", но не соответствующими предложениями типа "при всяком X -, если X есть а, то X есть b"; подобно же предложениями типа "ни одно а не есть b" я пользовался и пользуюсь как эквивалентами соответствующих предложений типа "некоторый предмет есть а, и при всяком X -, если X есть а, то X не есть b", но не соответствующими предложениями типа "при всяком X -, если X есть а, то X не есть b". (S.264)

Все сделанные Лесьневским замечания относительно статуса подлежащего, казалось бы, покоятся на предположении экстенсиональности или предметности в полном согласии с установками начального периода и расшифровываются однозначно: субъект номинального суждения есть предмет и как таковой существует. Однако сделанные позже уточнения экстенсиональность трактуют скорее потенциально. В связи с таким выводом рассмотрим "Утверждение I.", гласящее: "Если P есть предмет, то P не есть часть P" (редакция 1928 г. - Б.Д.), или иначе, - "никакой предмет не есть часть самого себя" (редакция 1916 г.)". (S.265) Это утверждение в терминологии, приведенной выше, означает, "что некоторый предмет есть предмет, и при всяком X, - если X есть предмет, то X не есть часть предмета X. При доказательстве этого утверждения, - продолжает Лесьневский, - я опирался на неподдающемуся для меня сомнению предположении, что некоторый предмет есть предмет. Предложение, утверждающее, что некоторый предмет есть предмет, не удается получить на основе развиваемой ниже системы "онтологии". [...] Предложение "некоторый предмет есть предмет" является для меня равнозначным предложению "при некотором X - (X есть предмет, и X есть предмет)", а следовательно и предложению "при некотором X, - X есть предмет". Стремясь присоединить свое изложение "общей теории множеств" к упомянутой системе "онтологии", я не буду здесь пользоваться предложением, что некоторый предмет есть предмет. Желание избежать именно это предложение привело к тому, что я формулирую более слабое Утверждение I настоящего изложения, чем Утверждение I оригинала". (S.265)

Таким образом, если ранее каждое предложение вида "А есть b" предполагало не только наличия предложения "А есть предмет", но и "b есть предмет", то теперь Лесьневский от второго из этих предложений отказывается, придавая процессу номинации <"A" b. > относительный характер, заключающийся в том, что в свою очередь на предыдущем шаге переименования могла бы возникнуть ситуация <"B" c. >, ликвидируемая по изложенному рецепту: "для всякого X, - X есть предмет и X есть B". Как было уже отмечено, этот предыдущий шаг в действительности переводит один модус термина в другой, т.е. употребление в упоминание: <"B" b. >, тогда как Лесьневскому для обоснования существования "B" необходим обратный процесс. Поэтому ни с онтологической точки зрения, ни с семиотической, согласно которой пришлось бы вводить два обозначения одного предмета в разных функциях их использования - "B" и _b, - анализ сказуемого приводит к непреодолимым трудностям: его введение просто не согласуется с направлением переименования; Мереология становится динамической системой, аксиоматика которой определяет правила построения существительного, являющегося предметом во всех возможных смыслах, вкладываемых Лесьневским. Смыслы же эти, обобщенно говоря, определяются модусами терминов и могут быть обобщенно определены как экстралингвистический и интралингвистический. Лесьневский такого различения не проводит и продолжает пользоваться "выражением "предмет" [...] таким образом, который позволяет утверждать, что, если А есть b, то А есть предмет. Это наиболее полно гармонирует с развиваемой ниже системой "онтологии". ([1928], S.266) Однако эта гармония не однозначна, по крайней мере в Мереологии, и к ней могут быть предъявлены претензии, аналогичные тем, что были выдвинуты к "Принципам математики" Рассела и Уайтхеда. Суть этих претензий состоит, говоря языком Брентано и Твардовского, в смешении интенциональных отношений к предмету высказывания, которым, в одном случае, оказывается экстралингвистический объект, в другом - интралингвистический, или проще, судя по модусам использования термина для подлежащего, оказывается ли термин употребляемым или упоминаемым.

Трудность анализа номинального суждения состоит также и в том, что говорить о неточности референции невозможно, как невозможно поэтому говорить об экстенсиональном или интенсиональном контексте, ибо отношение номинации, если можно так выразиться, противоположно отношению референции, хотя как то, так и другое связывает имя с денотатом; тем более это сложно делать, если номинация относительная, т.е. попросту отношение переименования, которое транзитивно. Свойство транзитивности отношения переименования, выражаемого связкой "есть" должно прежде всего выполняться на именах, а точнее - инскрипциях. "Предложениями типа "А есть b" - пишет Лесьневский - я пользовался при написании реферируемой работы ("Основания общей теории множеств. I - Б.Д.) и пользуюсь здесь способом, позволяющим утверждать, что, если А есть B, а также B есть C, то A есть C. Это наиболее полно гармонирует с развиваемой ниже системой "онтологии". (S.269) На самом деле эта гармония достигается тогда, когда утверждения Мереологии относятся не только к предметам, т.е. множествам, классам, элементам и т.п., но одновременно к записям. Очевидно, что это требование невыполнимо в силу различных функций, которые выполняют термины в номинальном суждении, а также потому, что, как правило, сказуемое представляет собой дескрипцию и как термин, который хотя и употребляется, тем не менее обладает неточной референцией. Например, приведенная выше Аксиома II начинается словами: "Если P есть часть Q,...", где сказуемое "часть Q" можно трактовать как неопределенную дескрипцию. Выше уже отмечалось, что включение в состав "единичного предложения" типа "А есть b", являющегося несущей конструкцией также и Мереологии, ключевых понятий, таких как часть, множество, класс, элемент, ингредиенс и т.п. затушевывает синтаксическую структуру упомянутого предложения, что, как кажется, и не позволило Лесьневскому формализовать свою "теорию множеств". Так выражение "P есть часть предмета Q" можно прочитать по-разному, например, так: "P есть (часть предмета Q)", или же "P есть часть (предмета Q)", и даже "P есть часть предмета (Q)". Во всех случаях меняется не только статус, экстралингвистический или интралингвистический сказуемого "Q", но и функции связки. Поэтому отмеченная выше "гармония" была реализована только в Онтологии, целью которой стало очищение предложений вида "А есть b" от вспомогательных терминов часть, класс, ингредиенс и т.п. Цена, которую пришлось заплатить Лесьневскому за безупречную формализацию "единичных предложений" вида "А есть b", оказалась достаточно высокой: ею стал радикальный номинализм. И это понятно, ибо никакие ссылки, никакое закавычивание не исправляет положение термина "А" для подлежащего, который упоминается в номинальном суждении. Дабы избежать совместного выполнения утверждений теории для обозначаемых предметов и самих обозначений Лесьневский вынужден, вводя термин, например "А", тут же избегать его, переименовывая, к чему и подталкивало его само суждение как процесс.

Применительно к системе Лесьневского следует говорить о различных экземплярах одного и того же выражения, об эквиморфности терминов, но никогда о различных вхождениях одной записи как об одном и том же предмете; записи у Лесьневского не повторяются. В этой связи следует упомянуть факт, свидетельствующий о подобном понимании номинализма Лесьневского. Так предпринятая Б.Собоцинским реконструкция логики своего учителя насчитывала около тысячи страниц машинописи, а в монографии Лушея [1962] терминологические пояснения, уточняющие смысл используемых Лесьневским понятий, занимают 120 страниц. Только так понятый номинализм позволяет сохранить Лесьневскому установку на экстенсиональность и избежать интенсиональных контекстов. Поэтому, если теории Лесьневского преследовали различные цели, отмеченные выше, то в отношении их достижения, выразившегося в оформлении, существует единство: выражение существует, если оно сконструировано из ранее существующих записей или же является новой записью, построенной на основании принятых правил построения записей.^[152]

Мереология не является логической теорией, а учением о частях (meros - по гречески - часть). Отметим ее особенности в сравнении с дистрибутивной теорией множеств. Когда говорится, что x принадлежит множеству X (в дистрибутивном смысле), то этим высказывается только то, что x обладает свойством X. В мереологическом понимании множество является "целым", коллективом или агрегатом, т.е. вполне определенным физическим объектом, составленным из частей. Например, польское общество как мереологическое множество состоит из живущих в Польше людей, различных общественных групп, составляющих польское общество и, наконец, из самого этого общества. Из этого следует, что одноэлементное множество идентично с самим элементом, что множество X может быть идентично множеству Y, хотя X и Y, вообще говоря, могут быть именами на первый взгляд различных предметов, что в Мереологии не существует пустых множеств, и наконец, что отношение "есть", или, в терминологии теоретико-множественной - "быть элементом", является отношением транзитивным для мереологических множеств и не транзитивным для множеств дистрибутивных.

Лесьневский полагал, что мереологическое понятие множества является интуитивно более "прозрачным", нежели понятие множества в дистрибутивном смысле. В частности, Лесьневский считал, что известное высказывание Г. Кантора, будто множеством является каждая величина, которую можно воспринять как целостность, не противоречит мереологической концепции множества и обвинял математиков в создании искусственных конструкций, которые должны согласовывать интуицию с дистрибутивным понятием множеств, но не делают этого. Так, например, когда в теории множеств определяется пересечение множеств как их общая часть, то для всеобщности конструкции принимается, что пересечение дистрибутивных (непересекающихся) множеств пусто. Таким образом, считает Лесьневский, математики выдумывают несуществующие вещи.([1927], S.193) Он считал, что теорию множеств, которая удовлетворяет интуиции, следует построить на понятии множества в коллективном смысле. Таковой он полагал Мереологию.

На основании мереологической трактовки множества антиномия Рассела не возникает. Из значений терминов "класс" и "элемент" следует, что не существуют классы, не являющиеся собственными элементами, а поэтому и постановка вопроса, которая приводит к антиномии Рассела попросту не имеет смысла в системе Лесьневского.

§ 5. Онтология.

Эту теорию Лесьневский построил в 1919-1920 гг., т.е. после Мереологии, но перед Прототетикой. Сам автор Онтологию считал модернизированной традиционной логикой. Однако какой-либо явной связи Онтологии с фигурами и модусами силлогистики обнаружить не удается, если не считать таковой само суждение в форме "А есть b". Онтология не имеет какого-либо непосредственного соответствия в обычных логических системах и обычно определяется как исчисление имен, но одновременно она выполняет ряд функций, реализуемых исчислением предложений с кванторами.

Формально говоря, Онтология возникает в результате добавления к Прототетике функтора, характеризуемого дробью z\nn, т.е. функтора, образующего предложение от аргументов-имен, символов переменных категории имен, кванторов, связывающих переменные для имен, а также соответствующих аксиом и правил.

Генетически Онтология связана с Мереологией и может рассматриваться как синтаксический каркас последней, очищенный от "уточняющих" терминов, таких как "предмет", или задающих интерпретацию, которая менялась в различных модификациях Мереологии, при помощи терминов "класс", "множество", "ингредиенс", "элемент", или же термина, утверждающего свойство предмета "быть внешним". Намереваясь "опереться в своих исследованиях, проводимых при помощи "единичных" высказываний типа "А есть b", на какой-то отчетливо сформулированной аксиоматике", Лесьневский пишет, что "в то время [он] не признал бы достаточной для своей выше очерченной цели никакой аксиоматики, о которой бы знал, что она не гарантирует получения на ее основе соответствующих "символических" предложений, соответственно утверждающих, что -

1) некоторое а есть b тогда и только тогда, когда для некоторого X, (X есть а и X есть b),

2) если А есть b, то А является предметом,

3) каждое а есть b тогда и только тогда, когда (некоторый предмет есть а, и для всякого X, если X есть а, то X есть b),

4) А есть тем же предметом, что B тогда и только тогда, когда (А есть B и B есть А),

5) наибольшее один предмет есть а тогда и только тогда, когда при всех А и B -, если А есть а, а также B есть а, то А есть тем же предметом, что B,

6) А есть а тогда и только тогда, когда (каждое А есть а и наибольшее один предмет есть А)." ([1931], S.157) Среди приведенных "символических предложений" последнее особо выделяется Лесьневским, по поводу которого он замечает: "Предложение 6), или же какое-то другое предложение, более или менее такого же вида, как предложение 6), сыграло важную роль в возникновении названной теории, к единственной аксиоме которой в свое время я пришел именно путем анализа этого предложения". (S.157)