Лекция 4. Основы оптимальной обработки сигналов

Если на входе приемника действует сигнал x(t), равный сумме полезного сигнала и помехи n(t) или только помехе, то оптимальный приемник в случае сигнала с полностью известными параметрами вычисляет так называемый корреляционный интег­рал, а затем сравнивает его величину с порогом z₀. Если помеха является гауссовским случайным процессом, спектральная плот­ность которого равномерна (белый шум), то корреляционный ин­теграл имеет вид

(1.23)

Значение корреляционного интеграла (1.23) находится с по­мощью коррелятора (рис. 1.14) или согласованного фильтра (рис. 1.15). Основными элементами коррелятора, как следует выражения (1.23), являются перемножитель, генератор сигнала и интегратор. На перемножитель поступают входной сигнал

сигнал u(t) от генератора сигнала. Произведение x(t)u(t) интег­рируется с момента прихода (t=0) и до момента окончания об­наруживаемого сигнала (t=T). Отметим, что коррелятор является устройством с переменными параметрами, так как режим его ра­боты зависит от изменения u(t) во времени. Поскольку операции

Рис. 1.14 Коррелятор

Рис. 1.15 Согласованный фильтр

умножения и интегрирования линейны, то коррелятор является линейным устройством. Имея в виду, что он отфильтровывает сиг­нал от помех и является линейным устройством с переменными параметрами, его иногда называют активным фильтром в отличие от пассивных фильтров, параметры которых постоянны во време­ни.

Согласованный фильтр является пассивным фильтром. Напря­жение на выходе согласованного фильтра в момент окончания сигнала (t = T) с точностью до постоянного множителя а равно напряжению на выходе коррелятора

(1.24)

Импульсная характеристика согласованного фильтра

(1.25)

которая по форме является зеркально отображенным сигналом с запаздыванием Т.

Общим между коррелятором и согласованным фильтром яв­ляется равенство (с точностью до постоянной) выходных напря­жений в момент времени t=T. Это и определяет их взаимную эк­вивалентность с точки зрения обнаружения сигнала. Различие заключается в следующем. Коррелятор является устройством с пе­ременными во времени параметрами, а согласованный фильтр — устройством с постоянными параметрами. Следствием этого яв­ляется то, что согласованный фильтр инвариантен относительно задержки сигнала и его начальной фазы (насколько эти величины изменятся в сигнале на входе фильтра, настолько они изменятся и в сигнале па выходе), а коррелятор не инвариантен.

Если сигнал имеет несколько неизмеряемых или измеряемых случайных параметров, то структура оптимального приемника из­меняется, по его основная часть остается прежней, так как всег­да должен быть согласованный фильтр или коррелятор. Напри­мер, при случайной начальной фазе сигнала в приемнике с сог-ласованным фильтром за фильтром должен следовать детектор для выделения огибающей. В приемнике корреляционного типа должны быть второй (квадратурный) канал и схема выделения огибающей. Поэтому в оптимальном приемнике всегда есть сог­ласованный фильтр или коррелятор.

Коэффициент передачи согласованного фильтра с импульсной характеристикой (1.25)

(1.26)

где - спектр сигнала, * — знак комплексной сопряженности. Из (1.26) следует выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

(1.27)

и для фазо-частотной характеристики (ФЧХ) согласованного фильтра

(1.28)

Из (1.27) следует, что АЧХ согласованного фильтра повторяет спектральную плотность сигнала.

Исключительная роль согласованного фильтра (или корреля­тора) в оптимальном приемнике объясняется тем, что он максимизирует отношение сигнал-помеха на своем выходе. Это отношение при действии на входе фильтра белого шума со спектральной плотностью N_o и сигнала с энергией Е не зависит от формы сигнала

(1.29)

Проиллюстрируем более подробно корреляционный метод. Сущность корреляционного метода заключается в использовании различия сигнала и помехи. Данный метод эффективен лишь в случае приема периодических или квазипериодических сигналов.

Рассмотрим пример, когда полезный сигнал является периодическим, а помеха - типа белого гауссова шума.

В приемном устройстве определяется корреляционная функция поступающей на вход суммы полезного сигнала и помехи

(1.30)

В полученном выражении и есть взаимные корреляционные функции сигнала и помехи, а и — авто-корреляционные функции сигнала и помехи соответственно.

Поскольку передаваемый сигнал и помеха статистически независимы, то

следовательно, выражение (1.30) примет вид

(1.31)

Из выражения (1.31) видно, что кор­реляционная функция смеси сигнала и помехи равна сумме автокорреляци­онных функций сигнала и помехи. Как известно, корреляционная функция пе­риодического сигнала является перио­дической функцией аргумента. Функция с увеличением стремится к нулю и при практически равна нулю (рис.1.16). Следовательно, выбирая такое время , при котором значением можно пренебречь, мы обеспечим тем самым полу­чение функции , отображающей полезный сигнал, т. е. выде-ление полезного сигнала из смеси полезного сигнала с помехой.

Рис.1.16 Вид корреляционных функций

Для уточнения того, от каких факторов зависит время, затра­чиваемое для выделения полезного сигнала при корреляционном приеме, выразим корреляционные функции и через дисперсии и нормированные корреляционные функции и

(1.32)

Подставляя (1.32) в (1.31), найдем

(1.33)

Из (1.33),видно, что выбор времени приема зависит от интервала корреляции помехи и отношения сигнал/помеха. Действительно, при вторым членом можно пренебречь и для выделения полезного сигнала теоретически времени не потребуется. При необходимо увеличивать , чтобы получить . Следо­вательно, в последнем случае для выделения полезного сигнала необходимо дополнительное время, которое должно расти с увеличением отношения и интервала корреляции помехи .

Общее время, затрачиваемое на корреляционный прием, опреде­ляется не только , но и временем интегрирования T_l выбираемым достаточно большим. Практически ограничиваются значением

.

Контрольные вопросы.

1. Назовите основные этапы обработки сигналов в системе связи.
2. Как осуществляется согласование сигнала с каналом?
3. Перечислите основные виды помех.
4. Сравните параметры гармонического и импульсного носителей.
5. Чем отличаются спектры периодических и непериодических сигналов?
6. Сравните спектры амплитудно- и частотно- модулированных сигналов при разных индексах модуляции.
7. Что произойдет со спектром импульсной последовательности при увеличении длительности импульсов?
8. Что произойдет со спектром импульсной последовательности при уменьшении периода следования импульсов?
9. Как определяется ширина спектра сигнала?