Выборочные моменты. Вывести формулы, устанавливающие связь между центральными и начальными выборочными моментами для

3 Медиана – значение признака ряда, относительно которого ряд делится на 2 равные по числу признаков части. Таким образом, медиана Ме равна:

1.при нечетном числе наблюдений n=2l-1 - значению признака Х, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений:

2.при четном числе наблюдений n=2l –средней арифметической двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:

Если исходят из интервального ряда, то медиана вычисляется по формуле:

Гдеh – длина интервала, n – объем выборки

Мода – значение признака, которому соответствуют наибольшая частота. Для одномодального интервального ряда вычисление моды производится по формуле

Если Xср, Мо и Ме почти не отличаются друг от друга, то есть основания предполагать теоретическое распределение изучаемого признака симметричным. При изучении экономических явлений симметричные ряды встречаются довольно редко. Когда распределение набора данных скошено в правую сторону больше, чем в левую, то говорят о правосторонней асимметрии. При скосе в левую – о левосторонней. При правосторонней асимметрии средняя находится справа от медианы, которая лежит справа от моды. Для левосторонней – наоборот. Чем более асимметрично распределение признака, тем больше расхождения между значениями средней арифметической, медианы и моды.

Коэффициент асимметрии Ас – показатель асимметричности распределения, определяющий степень скошенности кривой по сравнению с нормальным распределением, и вычисляемый по формуле:

Для симметричных В.Р. Ас=0, для правосторонней асимметрии – Ас >0, левосторонней – Ас<0. Если |Ас|>0,5, то асимметрия существенна.

Коэффициент эксцесса Ек – показатель, служащий мерой крутости (плосковершинности или островершинности) графику В.Р. в сравнении с кривой нормального распределения, определяемый по формуле:

Если Ек>0, то график островершинный, Ек<0 – плосковершинный.

Коэффициент вариации Vs – безразмерный показатель меры рассеяния значений изучаемого признака и равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Если к.в. признака высок (более 100%), это свидетельствует о неоднородности значений признака.

Соотношения МОМЕНТОВ:

Точечные оценки и их свойства. Проверить оценки математического ожидания и дисперсии нормальной генеральной совокупности (, S2 и Ŝ2), полученные по выборке, на несмещенность и состоятельность.

Точечной оценкой параметра θ называют функцию от результатов наблюдений (х₁, х₂,… х_n), значение которой принимают за наилучшее приближение к оцениваемому параметру θ. К точечным оценкам предъявляют требования несмещенности, эффективности, состоятельности и достаточности.

1. Статистическая оценка параметра н-ся несмещенной, если при любой объеме выборки n её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: .Если оценка является смещенной, то смещение определяется как . Требование несмещенности является минимальным требованием, т.к. зная величину смещения, оценку можно всегда скорректировать.

2 Статистическая оценка параметра н-ся эффективной, если при заданном объеме выборки она имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок. При этом, согласно неравенству Рао-Камера, дисперсия любой несмещенной оценки параметра ограничена снизу: ,где - плотность распределения вероятностей случайной величины.

3 Статистическая оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. при сходится по вероятности к оцениваемому параметру: или . -состоятельная оценка μ только при независимых наблюдениях. В противном случае - несостоятельна.

4 Статистическая оценка параметра называется достаточной, если содержит всю информацию об оцениваемом параметре, то есть такую оценку параметра θ, когда условное распределение f( | =d) не зависит от d – конкретного значения .

·

так как

несмещенная оценка

· Bn=0 => оценка несмещенная

оценка состоятельности:

1)Bn=0

2)

·

·

Везде Q нужнозаменить на

Эффективность и асимптотическая эффективность точечной оценки. неравенство рао-крамера. Доказать, что средняя арифметическая, полученная по результатам выборки из генеральной совокупности, имеющей экспоненциальный закон распределения с плотностью … является эффективной оценкой параметра λ.

Точечная оценка – некоторая ф-ия результатов наблюдений (х1…хn), значение которой принимают за наилучшее приближение в данных условиях к значению параметра Q ген. Совокупности Х.

Эффективной называется точечная оценка, обладающая наименьшей дисперсией среди всех возможных несмещенных оценок параметра Q при данном объеме выборки. Эффективность оценки хар-ся средним квадратом отклонений

( - .

Неравенство Рао-Крамера ограничивает дисперсию любой несмещенной оценки параметра Q снизу:

.

Количество информации Фишера о параметре Q,

Содержащейся в единичном наблюдении

= . Эффективность параметра определяется соотношением .

Если совпадает с нижней границей, то оценка эффективна.

Однако существование эффективной оценки это довольно сильное требование на задачу. Более слабым является условие асимптотической эффективности, которое означает, что отношение дисперсии несмещенной оценки к нижней границе Крамера-Рао стремится к единице при ,т.е.