Определение доверительного коэффициента

Если закон распределения неизвестен, то для оценки доверительного интервала следует воспользоваться неравенством Чебышева (не самом деле Чебышёв Пафнутий Львович (1821 – 1894), русский математик и механик)

.

В предельном случае

,

где – т.н. доверительный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности.

Значения , получаемые из неравенства Чебышева, оказываются чрезмерно завышенными, особенно при . Поэтому для симметричных законов распределения можно воспользоваться неравенством Кампа–Мейделя

,

откуда

.

Для известных законов распределения значения доверительного коэффициента можно найти из выражения

,

подставляя вместо соответствующие аналитические выражения для интегральной функции распределения результатов или погрешностей измерения.

Равновероятное распределение (рис. 8.1)

а) б)

Рисунок 8.1 – Плотность (а) и интегральная функция (б)

равновероятного распределения результатов и погрешностей измерений

Плотность распределения

Интегральная функция распределения

Числовые характеристики распределения:

– математическое ожидание ;

– СКО .

Доверительная вероятность

.

Отсюда

; .

Нормальное распределение (Гаусса) (рис. 8.2)

а) б)

Рисунок 8.2 – Плотность (а) и интегральная функция (б)

нормального распределения результатов и погрешностей измерений

Плотность распределения

.

Интегральная функция распределения

.

Числовые характеристики распределения:

– математическое ожидание ;

– СКО .

Доверительная вероятность

.

Вводим замену переменного , откуда и вместо в пределах интегрирования необходимо записать

,

то есть

,

где – функция Лапласа. (Пьер–Симо́н Лапла́с (1749 – 1827) – французский математик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. На одном из экзаменов Лаплас высоко оценивает знания 17–летнего абитуриента Наполеона Бонапарта, впоследствии их отношения были неизменно теплыми.)

Отсюда получаем

.

Значения функции , обратной функции Лапласа, табулированы.

Распределение по закону арксинуса (рис. 8.3)

а) б)

Рисунок 8.3 – Плотность и интегральная функция

результатов и погрешностей измерений по закону арксинуса

Плотность распределения

Интегральная функция распределения

Числовые характеристики распределения:

– математическое ожидание ;

– СКО .

Доверительная вероятность

.

Отсюда

, .

Таблица 8.3 – Зависимость доверительных коэффициентов от доверительной вероятности для различных законов распределения