Метод последовательных разностей

Часто при аналитическом выравнивании ряда используется модель тренда в виде полинома.

Для определения порядка аппроксимирующего полинома в этом случае выделения тренда широко используется метод последовательных разностей членов анализируемого временного ряда.

Метод основан на следующем математическом факте: если временной ряд y ₁, y ₂,..., y _t,..., y _n содержит в качестве своей неслучайной составляющей алгебраический полином f (t)= a ₀+ a ₁ t +...+ a _p t ^p порядка р, то переход к последовательным разностям y (1), y (2), …, y (n), повторенный р +1 раз (то есть переход к последовательным разностям порядка р +1), исключает неслучайную составляющую (включая константу a ₀), оставляя элементы, выражающиеся только через остаточную случайную компоненту u (t).

Алгоритм метода. Последовательно для k =1,2,… вычисляем разности D^k y (t) (t =1,2,…, n - k). Анализируем поведение разностей в зависимости от их порядка k. Начиная с некоторого k разности стабилизируются, оставаясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте k. Это значение k ибудет давать порядок сглаживающего полинома, то есть p.

При применении метода следует иметь в виду, что стабилизация разностей не доказывает, что ряд первоначально состоял из полинома плюс случайный остаток, а только то, что он может быть приближенно представлен таким образом.

Пример. Имеются данные о базисных темпах роста среднедушевого дохода населения области за 10 месяцев (в % к январю). Расчет первых и вторых разностей показывает, что для ряда y _t тренд может быть адекватно описан полиномом второй степени. Ñ

Таблица 5.5

Расчет последовательных разностей