Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Отношение, обладающее одновременно свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.
~ - символ отношения эквивалентности.
[x] - множество элементов, эквивалентных x (класс эквивалентности х).
Свойства отношения эквивалентности:
1. x ~ х
2. Если x ~ y Þ [x] = [y]
Доказательство 1-го свойства: Следует из свойства рефлексивности.
Доказательство 2-го свойства: 1. z Î [x] Þ z ~ x, x ~ y Þ z ~ y Þ z Î [y], т.е. [x] Í [y]
2. z Î [y] Þ z ~ y, x ~ y Þ z ~ x Þ z Î [x], т.е. [y] Í [x].
Следовательно [x] = [y]
P(M) - множество-степень множества М есть множество всех подмножеств множества М.
Пример:
М={1, 2, 3}
P(M)={Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
П(M) - покрытием множества М будем называть любое подмножество множества Р(М), такое, что объединение входящих в него элементов совпадает с М.
П(M) = {{1,2}, {2}, {2,3}}
так как {1,2} È {2} È {2,3} = {1, 2,3}
R(M) - разбиением множества М называется такое покрытие множества М, в котором элементы не пересекаются.
Пример разбиения: R = {{1,2}, {3}}
Свойства:
1. Каждый элемент исходного множества М принадлежит какому-либо из множеств, составляющих разбиение.
2. Каждый элемент исходного множества принадлежит строго одному из множеств, составляющих разбиение.
Теорема: Отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно определено на классы эквивалентности.
Доказательство: 1. Очевидно. х ~ [x]
2. Предположим, что z Î [x] и z Î [y]. Тогда из x ~ y и z ~ y следует x ~ y и по второму свойству отношения эквивалентности [x] = [y].
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 271 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!