Необходимый объем выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно-случайная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Механическая выборка	то же	то же
Типическая выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

При статистическом исследовании социально-экономических явлений очень часто приходиться сталкиваться с качественными признаками, причем именно по ним нередко проводится расчет необходимого объема выборочной совокупности. Способ выражения качественных признаков не позволяет рассчитать по ним средние значения, поэтому оценка колеблемости производится, как правило, исходя из долей единиц, обладающих значениями этих признаков, т. е. выборочных долей. Выборочная доля также называется частостью.

Если в результате выборочного обследования необходимо установить долю единиц, обладающих определенным значением альтернативного признака, то дисперсия для доли будет равна pq. В этом случае формула необходимой численности выборки примет вид:

. (9.21)

Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и не известна его доля в генеральной совокупности (хотя бы приблизительно), рекомендуется принять ее равной 0,5, так как дисперсия доли достигает максимума: = 0,25 при w=0,5.

Преимущество такого приема заключается в том, что он позволяет определить численность выборочной совокупности, не располагая данными предыдущих обследований и не проводя пробных обследований. Возможность экономии времени и ресурсов часто оказывается решающим фактором при обращении к данному методу.

Пример 4. В результате выборочного обследования жителей города численностью 500 тыс. чел., было проведено бесповторное выборочное обследование для установления доли жителей старше 60 лет, предельная ошибка выборки не превышала 5% при вероятности 0,954 и доли жителей выборки старше 60 лет – 15%.

Дано: N=500 тыс.чел. (0,05)
	Вывод: В городе жителей старше 60 лет 400 человек.

В практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30. В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше, прежде всего за счет статистического изучения деятельности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т. д. Их количество в определенных случаях, особенно при региональных исследованиях, а также величина характеризующих их показателей (например, численность занятых) часто незначительны. Поэтому хотя общий принцип выборочного обследования (с увеличением объема выборки повышается точность выборочных данных) остается в силе, иногда приходится ограничиваться малым числом наблюдений. Наряду со статистическим изучением рыночных структур эта необходимость возникает при выборочной проверке качества продукции, в научно-исследовательской работе и в ряде других случаев.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент) в 1908 г. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле

(9.22)

где – мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна:

. (9.23)

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки в генеральной совокупности. При небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.

Предельная ошибка малой выборки () в зависимости от средней ошибки () представлена как

= . (9.24)

Но в данном случае величина t иначе связана с вероятной оценкой, чем при большой выборке. Как указывалось ранее, английский ученый В.С. Госсет доказал, что при малой выборке действует особый закон распределения. Согласно распределению Стьюдента, вероятная оценка зависит как от величины t, так и от объема выборки в случае, если предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку в малых выборках. Приведем выдержку из таблицы распределения Стьюдента (табл. 9.4).

Таблица 9.4

Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n*

n t
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
* При n = в таблице даны вероятности нормального распределения.Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

Как видно из таблицы 3, при увеличении n это распределение стремится к нормальному и при n = 20 уже мало от него отличается.

Покажем, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента.

Пример 5. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9. Найдем выборочные средние затраты:

мин.

Выборочная дисперсия

Отсюда средняя ошибка малой выборки

мин.

По табл. находим, что для коэффициента доверия t = 2 и объема малой выборки n = 10 вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средней лежит в пределах от -2 до + 2 , т. е. разность не превысит по абсолютной величине 0,56 (2х0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находиться в пределах от 2,93 до 4,05 мин. Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет по абсолютной величине больше, чем 0,56, равна: 1 - 0,924 = 0,076.

Таблица вероятностей Стьюдента часто приводится в иной форме, нежели в табл.4. Считается, что в ряде случаев такая форма более удобна для практического использования (табл. 9.5).

Таблица 9.5