Отчет по результатам

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄, которые соответственно равны 0; 30; 10; 0; значение целевой функции — 150, а также левые части ог­раничений их статус (связное или не связное) и разница между правой и левой частями ограничений. Видно, что ресурсы «труд» и «оборудование» будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс «сырье») будет использовано 280 кг, а 200 кг останется на складе.

Содержание остальных отчетов будет рассмотрено ниже.

3. Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи к задаче о коврах.

Неизвестные. Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исход­ная задача содержит 3 ограничения: по труду, сырью и оборудо­ванию. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

y₁ — двойственная оценка ресурса «труд», или «цена» труда; y₂ — двойственная оценка ресурса «сырье», или «цена» сырья; y₃ — двойственная оценка ресурса «оборудование», или «цена» оборудования.

Целевая функция двойственной задачи минимизируется. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двой­ственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

Необходимо найти такие «цены» на ресурсы (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Ограничения. Число ограничений в системе двойственной за­дачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 огра­ничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов, затрачен­ных на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенному виду продукции:

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двой­ственности

,

Тогда

Подставим оптимальные значения вектора * в полученные вы­ражения

и получим

Т.к. 280-480<0, то =0

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двой­ственности

Если >0, то

В нашей задаче = 30 > 0 и = 10 > 0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

Решая полученную систему уравнений, находим и . Теневые цены ресурсов «труд», «сырье» и «оборудование» со­ответственно равны = 4/3, = 0, = 1/3, или в десятичных дробях 1,3333; 0; 0,3333.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

Ответ на вопрос о равенстве нулю , и будет дан позже.

Используя отчеты «Поиска решения», проверим полученное решение двойственной задачи.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений => Отчет по устойчивости.

Отчет по устойчивости. Отчет по устойчивости приводится в табл. 3.

· Прежде всего, в столбце Теневая Цена, мы найдем решение двойственной задачи = 1 1/3, = 0, = 1/3. Видим, что решение, найденное с помощью теорем двойственности, верно. Как было отмечено ранее, теневые цены представляют собой оптимальное решение двойственной задачи и представляют собой двойственные оценки ресурсов, т.е. показывают, на сколько может увеличиться значение целевой функции, если увеличить запасы соответствующего ресурса на 1 единицу. Для недефицитных ресурсов ценность равна нулю.

Первая часть таблицы содержит информацию, относя­щуюся к переменным:

• Результат решения задачи.

· Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, в отчете по устойчивости для рассматриваемой задачи (см. табл. 3) нормированная стоимость для ковров первого вида равна -7 тыс. руб./шт. (строка 1). Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение (0; 30; 10; 0), попробуем включить в план выпуска один ковер первого вида, то новый план выпуска принесет нам доход 143 тыс. руб., что на 7 тыс. руб. меньше, чем прежнее оптимальное решение.

• Коэффициенты целевой функции.

· Предельные значения приращения целевых коэффициентов при которых сохраняется первоначальный оптимальный план производства, т.е. оптимальное решение исходной задачи. Например, допустимое увеличение цены на ковер первого вида равно 7 тыс. руб./шт., а допустимое уменьшение — практически не ограничено (строка 1 из табл.3). Это означает, что если цена ковра первого вида возрастет более чем на 7 тыс. руб./шт., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным вы­пускать x ₁. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (0; 30; 10; 0) останется прежним.

Во второй части табл. 3 содержится информация, относя­щаяся к ограничениям:

• Величина использованных ресурсов в колонке Результ. значение, т.е. это значения левых частей ограничений.

· Предельные значения приращения ресурсов . В графе Допустимое уменьшение показано, на сколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить запас ресурса, сохранив при этом двойственные оценки этих ресурсов, т.е. оптималь­ное решение двойственной задачи. Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов. Ана­лизируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (узкие места производства), не позволяющие фабрике выпускать больше ковров, чем в оптимальном решении, и получать более высокий доход. В рассматриваемой задаче такими «узкими местами» являются дефицитные ресурсы «труд» и «оборудование». Поскольку ограничение по данным ресурсам сверху, то возникает вопрос, на сколько должен возрасти запас этих ресурсов, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции и как следствие – увеличить совокупную прибыль. Ответ на этот вопрос показан в графе Допустимое увеличение. Если ресурс «труд» увеличить самое большее на 150 чел./дней, а ресурс «оборудование» — на 30 станко/час, то они не выйдут из статуса дефицитных, но увеличение дохода при этом произойдет на и соответственно. Совокупное увеличение запасов ресурсов увеличит прибыль на . Увеличение запасов этих ресурсов сверх 150 чел./дней и 30 станко/час соответственно, приведет к изменению их двойственных оценок, т.е. они могут выйти из статуса дефицитных ресурсов и дальнейшее увеличение их запасов будет не целесообразным.

Таблица 3