Факторный анализ. Во многих случаях перед разработчиком теста встает задача «сжатия» информации или, иначе говоря, компактного описания изучаемых явлений при наличии множества

Во многих случаях перед разработчиком теста встает задача «сжатия» информации или, иначе говоря, компактного описания изучаемых явлений при наличии множества наблюдений или переменных. Факторный анализ как раз и является методом снижения размерности изучаемого многомерного явления.

Напомним читателю, что факторный анализ зародился в психологической науке и связан в первую очередь с исследованиями Ч. Спирмена (Spearman, 1904). Последующими работами таких выдающихся психологов, как Т. Келли, Л. Тер-

*' 3.7. Факторный анализ 163

стоуна, Дж. Гилфорда и Р. Кэттелла, а также математиков К. Пирсона, К. Холзшг-гера, Г. Хармана и др., был достигнут значительный успех в математическом обосновании факторного анализа, и этот метод начинает активно применяться в различных науках.

Как хорошо известно, одной из типичных форм представления экспериментальных данных является матрица, столбцы которой соответствуют, например, различным тестам (заданиям тестов), а строки — отдельным результатам (значениям), полученным в результате их применения. Визуальный анализ сколь-ни-• будь значительной по величине матрицы невозможен, а поэтому требуется исходную информацию сжать, извлечь из нее наиболее важное, существенное. Прежде всего исследователю необходимо получить корреляционную матрицу (подсчет коэффициентов корреляции).

Воспользуемся в качестве примера исследованием Л. Айкена (Aiken, 1996). В этом исследовании 90 студентов колледжа просили оценить преподавателя с помощью пятибалльной шкалы (1 — низший балл, 5 — высший) по 11 параметрам: тактичность, вежливость, креативность, доброжелательность, увлеченность своим предметом, знание предмета, способность мотивировать студентов, организованность, терпеливость, подготовленность и пунктуальность.

Если поделить матрицу корреляций рейтинговых оценок, данных студентами по списку качеств личности преподавателя (табл. 3.4) на два равных треугольника, проведя диагональ из левого верхнего угла в правый нижний угол, то можно увидеть, что это — симметричная матрица, в которой первая верхняя строка состоит из тех же оценок, что и первая колонка. Аналогично вторая строка включает те же самые элементы, что и вторая колонка, и т. д. Также нужно обратить внимание на то, что все числа на основной диагонали (начиная сверху слева вплоть до чисел внизу справа) равны +1,00 — это предполагаемая корреляция каждого задания шкалы с самим собой.

В психологическом тестировании цель факторного анализа заключается в том, чтобы найти несколько фундаментальных факторов, которые объясняли бы большую часть дисперсии в группе оценок по различным тестам или другим психометрическим измерениям. В вышерассмотренном примере — 11 переменных, поэтому для него задача факторного анализа заключается в том, чтобы найти матрицу факторных нагрузок или корреляции между факторами и заданиями шкалы. Существует несколько процедур факторного анализа, но все они предполагают две стадии: 1) факторизацию матрицы корреляций, с тем чтобы получилась первоначальная факторная матрица; 2) вращение факторной матрицы, с тем чтобы обнаружить наиболее простую конфигурацию факторных нагрузок (см. табл. 3.4).

Стадия факторизации в этом процессе призвана определить количество факторов, необходимых для объяснения связей между различными тестами, и обеспечивает получение первичных оценок нагрузки (веса) каждого теста по каждому фактору. Вращение факторов необходимо для того, чтобы сделать их более понятными (интерпретируемыми) с помощью создания конфигурации факторов, в которой совсем немного тестов имеют высокие нагрузки, тогда как большая часть тестов имеют низкие нагрузки по любому фактору.

164 Глава 3. Психометрические основы психодиагностики: основные этапы.

Таблица 3.4 Образец матрицы корреляций	между 1 1 заданиями шкалы
для оценки личности преподавателя
Задание
	1,000	0,727	0,424	0,573	0,343	0,294	0,458	0,200	0,425	0,091	0,078
	0,727	1,000	0,304	0,620	0,287	0,258	0,363	0,075	0,459	0,115	0,127
	0,424	0,304	1,000	0,470	0,510	0,080	0,691	0,206	0,304	0,129	0,112
	0,573	0,620	0,470	1,000	0,336	0,195	0,390	0,061	0,528	0,026	0,022
	0,343	0,287	0,510	0,336	1,000	0,171	0,638	0,374	0,203	0,243	0,244
	0,294	0,258	0,080	0,195	0,171	1,000	0,108	0,227	0,159	0,490	0,430
	0,458	0,363	0,691	0,390	0,638	0,108	1,000	0,218	0,314	0,108	0,065
	0,200	0,075	0,206	0,061	0,374	0,227	0,218	1,000	00,85	0,524	0,421
	0,425	0,459	0,304	0,528	0,203	0,159	0,314	0,085	1,000	0,114	0,187
	0,091	0,115	0,129	0,026	0,243	0,490	0,108	0,524	0,114	1,000	0,611
И	00,78	0,127	0,112	0,022	0,244	0,430	0,065	0,421	0,187	0,611	1,000

Одна из наиболее известных процедур факторизации — метод главных осей (principal axis), а самая популярная процедура вращения — варимакс вращение¹.

Из табл. 3.5 видно, что выделяются три фактора, они представлены в колонках, обозначенных А, В, С. Величины, записанные под колонкой каждого фактора, — корреляции или нагрузки каждого из 11 заданий по этому фактору.

Например, задание 1 имеет нагрузку по фактору Л равную 0,754; - 0,271 по фактору В; и 0,250 по фактору С. Сумма квадратов нагрузок по каждому из факторов позволяет определить долю дисперсии этого задания. Таким образом, доля дисперсии задания 1 равна:

(0,754)² +(-0,271)² +(0,250)² =0,704.

Это означает, что 70,4 % вариаций показателей по заданию 1 объясняется действием этих трех факторов.

Факторно-аналитический подход позволяет также оценить надежность теста. Как известно, полная дисперсия теста равна сумме дисперсий для общих факторов, плюс дисперсии специфических факторов, плюс дисперсия погрешности. Следовательно, если мы осуществим факторный анализ теста, возведем в квадрат и суммируем нагрузки его факторов, то мы получим его надежность, поскольку нагрузки факторов представляют корреляцию теста с общими или специфическими факторами. Однако следует помнить, что такой способ установления надежности более всего подходит для уже факторизованного теста, нежели для тестов, которые могут измерять широкий набор разных факторов, часть которых могут и не входить в батарею изучаемых исследователем.

¹ По вполне понятным причинам здесь опущены этапы ручной факторизации матрицы, поскольку в настоящее время для этой цели используются различные компьютерные программы. Для читателя, желающего ознакомиться подробно с процедурой факторизации матрицы и ее вращением, рекомендуем обратиться к книге: Окунь Я. Факторный анализ / Пер. с польск.; Под ред. Г. 3. Давидовича. — М.: Статистика, 1974.

3.7. Факторный анализ 1 €5

Таблица 3.5

Матрица факторных весов с вращением и без вращения рейтинговых оценок по шкале оценки личности преподавателя (данные получены с помощью программы SPSS¹)

	Факторные веса
Задание	Матрица до вращения	Матрица после вращения	Доля
	Л	В	С	Л'	В'	С
	0,754	-0,271	0,250	0,783	0,090	0,288	0,704
	0,708	-0,281	0,415	0,853	0,089	0,131	0,752
	0,689	-0,206	-0,440	0,303	0,015	0,786	0,710
	0,702	-0,392	0,240	0,790	-0,041	0,280	0,704
	0,674	0,063	-0,500	0,148	0,243	0,792	0,708
	0,442	0,477	0,402	0,353	0,669	-0,113	0,585
	0,714	-0,216	-0,485	0,298	0,009	0,838	0,791
	0,434	0,573	-0,257	-0,082	0,649	0,392	0,582
	0,594	-0,201	0,330	0,691	0,102	0,120	0,502
	0,408	0,769	0,063	0,011	0,867	0,100	0,762
	0,388	0,718	0,122	0,052	0,822	0,048	0,681

Факторная матрица после вращения представлена в колонках А', В'и С'таблицы. Доля дисперсии каждого задания та же самая, что и в факторной матрице до вращения факторов, но факторы, полученные после вращения, легче интерпретировать, чем в матрице до вращения. Вращение варимакс является процедурой ортогонального вращения, в которой факторные оси остаются перпендикулярными друг к другу. В противоположность этой процедуре факторные оси при обличе-ском (косоугольном) вращении формируют острые или тупые углы по отношению друг к другу. Ортогональные факторы обычно легче интерпретировать, чем косоугольные, поскольку эти факторы не коррелируют друг с другом (независимы).

При интерпретации факторной матрицы после вращения следует обратить особое внимание на задания, которые имеют вес 0,50 и выше по данному фактору. Четыре задания — 1 (тактичный), 2 (вежливый), 4 (доброжелательный) и 9 (терпеливый) — имеют высокие нагрузки по фактору А'. Соответственно подходящим названием для этого фактора могло бы быть такое обозначение, как «деликатность» или «вежливость». Еще четыре задания имеют высокие нагрузки, но уже по фактору В': 6 (осведомленный), 8 (организованный), 10 (подготовленный) и 11 (пунктуальный), значит, соответствующим наименованием фактора В' могло бы быть «готовность». Наконец, три задания имеют высокие нагрузки по фактору С': 3 (креативный), 5 (увлеченный) и 7 (способный мотивировать); подходящим обозначением этого фактора могло бы быть — «стимулирующий» или «мотивирующий». Эти три фактора приобретают психологический смысл при определении типа личности преподавателя, который предпочитают студенты.

¹ SPSS - Статистический пакет для социальных наук (Statistical Package for the Social Sciences).

166 Глава 3. Психометрические основы психодиагностики: основные этапы...

Безусловно, имеется гораздо больше приложений для факторного анализа, чем те, на которых мы остановились. Сегодня факторному анализу посвящено множество книг и статей. В то же время существуют значительные разногласия не только относительно наилучших процедур факторизации и вращения факторов, но и в отношении их интерпретации. Тем не менее факторный анализ был и остается одним из наиболее мощных инструментов психолога, разрабатывающего тесты.