Факторный анализ. Факторный анализ (ФА) – это способ приведения (синтеза) множества непосредственно наблюдаемых показателей Xj = {xij}

Факторный анализ (ФА) – это способ приведения (синтеза) множества непосредственно наблюдаемых показателей X_j = { x_ij }, (i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m) к меньшему числу Q < m новых линейно независимых факторов (признаков, показателей) Y_q, (q = 1, 2, 3,..., Q).

Пусть исходные данные представлены в виде матрицы X = { x_ij }, (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m), где n – количество наблюдений, m – количество показателей).

Так как величины X_j могут иметь различный физический смысл и различные шкалы измерений, удобнее перейти к стандартизированной матрице исходных данных X ^* = { x^*_ij }.

Здесь каждый показатель X ^* _j имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию.

В факторном анализе предполагается линейная связь между измеряемыми показателями и факторами:

,

где – подлежащиe определению коэффициенты.

Справедливо соотношение

где – соответственно общность и специфичность j –го показателя.

Это равенство выполняется при условии, что переменные стандартизированы и не коррелированы и в основу положена линейная модель.

Проблема общности состоит в определении доли дисперсии показателя, обусловленной общностью.

Оценка h _j² должна быть определена до выделения факторов, что и составляет проблему.

Проблема факторов состоит в установлении числа и вида осей координат, необходимых для отображения m переменных. Здесь применяются три основные модели: модель главных компонент, модель центроидных компонент и факторная модель.

При любых способах решения проблемы факторов вводятся различные ограничения для того, чтобы однозначно определить систему равенств R = А A^T + U ², где A^T – транспонированная матрица факторных нагрузок.

Процедура выделения факторов имеет бесконечно много эквивалентных решений, которые одинаково хорошо удовлетворяют равенству R ^h = А A^T.

При решении проблемы вращения речь идет о том, чтобы в уже установленном нами пространстве общих факторов дать каждой переменной наиболее простое факторное объяснение (максимальные нагрузки для одних факторов, минимальные для других).

Конечным результатом факторного анализа является получение содержательно интерпретируемых факторов, воспроизводящих матрицу коэффициентов корреляции между переменными.

Для отдельного наблюдения (объекта) имеем

Здесь y_iq – значение фактора q у i –го объекта.

Измерение факторов осуществляется, исходя из равенства:

Y = A^TX;

Существенное отличие МГК от факторного анализа заключается в том, что диагональные элементы матрицы R, используемые в МГК, каждый раз равны единице. Это означает, что общности равны единице, т.е. характерные факторы отсутствуют.