Взаимосвязь компонентов RSA

Задача RSA: Даны числа C и E, последнее из которых удовлетворяет соотношению:

НОД(E, (p – 1)(q – 1)) = 1.

Требуется найти такое число m, что

m^E = C (mod N).

Лемма. Задача RSA не сложнее проблемы факторизации.

Доказательство. Применяя алгоритм факторизации, разложим число N на простые множители, вычислим значение функции Эйлера Ф = j (N) и найдем

D = 1/ E (mod Ф).

Теперь, зная число D, легко восстановить m, поскольку

C^D = m^ED = m ^{1 (mod Ф)} = m (mod N).

Отсюда следует, что при известных p и q легко находятся d и m.

Самые большие числа, которые к настоящему времени удается разложить на множители за разумное время, имеют 500 двоичных знаков. В связи с этим, для обеспечения стойкости систем среднего срока действия, рекомендуют брать модули шифрования порядка 1024 бит. Для систем большого срока действия следует выбирать модули, состоящие из 2048 бит.

Секретная экспонента и проблема факторизации:

Лемма. Если известна секретная экспонента d алгоритма RSA, соответствующая открытому ключу (N, E), то число N можно эффективно разложить на множители.

Доказательство. При некотором целом s имеет место равенство

Ed – s (p – 1)(q – 1) = 1.

Возьмем произвольное целое число X ¹ 0. Тогда

X^{Ed – 1}= 1(mod N).

Вычисляем квадратный корень Y ₁ по модулю N:

что можно сделать, поскольку Ed – 1 известно и четно. Приходим к тождеству

которое можно использовать для определения делителей числа N с помощью вычисления НОД(Y ₁ – 1, N). Однако это будет работать только если Y ₁ ¹ ±1 (mod N).

Предположим, что нам не повезло и Y ₁ = ±1 (mod N). Если Y ₁ = –1 (mod N), вернемся к началу и выберем другое число X. Если Y ₁ = 1 (mod N), то можно взять еще один квадратный корень

Опять получаем

откуда НОД(Y ₂ – 1, N) – делитель числа N. К сожалению, здесь тоже может оказаться, что Y ₂ = ±1 (mod N). Тогда придется повторить все снова.

Алгоритм необходимо повторять до тех пор, пока мы не разложим N на множители и не придем к числу (ED – 1)/2 ^t, которое уже не будет делиться на 2. В последнем случае придется вернуться к началу алгоритма, выбрать новое случайное значение X и все повторить.

Отсюда следует, что при известном d легко найти p и q.

Алгоритм, приведенный в доказательстве, - типичный пример алгоритма Лас-Вегаса, вероятностного по своей природе, которая проявляется в процессе работы. Но если уж ответ отыщется, то он будет обязательно верным.

Пример. Входные данные задачи RSA:

N = 1441499, E = 17 и d = 507905.

Напомним, что мы предполагаем известной расшифровывающую экспоненту d, которая обычно хранится в секрете. Опираясь на предыдущий алгоритм, найдем числа N. Положим

T ₁ = (Ed – 1)/2 = 4317192,

X = 2.

Для вычисления Y ₁, сделаем преобразования:

Поскольку Y1 оказался равным 1, нам нужно взять

T ₂ = T ₁/2 = (Ed – 1)/4 = 2158596 и .

Теперь

Снова нужно повторять предыдущие шаги, что приведет нас к

T ₃ = (Ed – 1)/8 = 1079298

и

Отсюда

и мы можем найти простой делитель числа N, вычислив

НОД(Y ₃ – 1, N) = 1423.

Значение функции Эйлера j (N) и проблема факторизации:

Лемма. Значение Ф = j (N) позволяет эффективно разложить число N на множители.

Доказательство. Имеем

Ф = (p – 1)(q – 1) = N – (p + q) + 1.

Следовательно, положив S = N + 1 – Ф, мы получим

S = p + q.

Нам нужно определить числа p или q, опираясь на их сумму S и произведение N. Рассмотрим многочлен

f (X) = (X – p)(X – q) = X ² – SX + N.

Теперь можно найти как p, так и q, решая квадратное уравнение f (X) = 0 стандартным образом:

Отсюда следует, что при известном j ( N ) легко найти p и q.

Пример. Открытый модуль N = 18923 криптосистемы RSA. Известно Ф = j (N) = 18648. Вычисляем

S = p + q = N + 1 – Ф = 276.

Соответствующий многочлен имеет вид:

f (X) = X ² – SX + N = X ² – 276 X + 18923,

а его корни – p = 149, q = 127.