Тема 1. Общие аспекты применения математических методов в социологическом анализе

1.1.Статистические закономерности в анализе социологической информации: принципы моделирования реальности

В науке принято выделять две основные формы закономерной связи явлений, отличающиеся по характеру вытекающих из них предсказаний: динамические и статистические закономерности[1]. В законах динамического типа предсказание имеет точный определенный однозначный вид; в статистических же законах предсказание носит не достоверный, а лишь вероятностный характер. Нас интересуют в основном статистические закономерности (закономерности «в среднем»).

Статистическая закономерность возникает как результат взаимодействия большого числа элементов, составляющих совокупность, и характеризует не столько поведение отдельного элемента совокупности, сколько всю совокупность в целом. Она адекватно описывает массовые явления случайного характера, а именно такого рода явления и изучает обычно социолог[2]. Анализ данных с помощью математических методов позволяет выявлять статистические закономерности.

Но для социологии важен и поиск динамических закономерностей: в результате строятся модели мобильности групп в социальных системах, модели процессов межличностного влияния и внутриличностных конфликтов, модели подражательного поведения и т. д.[3]

Кроме того, социолога должны интересовать такие явления, которые не носят статистического характера: например, каким образом среди рабочих-металлургов, средний возраст которых равен 30 годам, встречаются отдельные люди старше 60 лет; почему при отсутствии статистической связи между полом выпускника школы и выбором им профессии на социологический факультет поступили практически одни девушки и т. п. явления (некие «переломные» точки системы).

При изучении социальных явлений мы имеем дело не с самой реальностью, а с ее моделью (формализованной приблизительной реальностью), для исследования которой используется математический аппарат.

В исходных данных имеются как бы два аспекта:

- множество скрывающихся за данными реальных объектов (отдельных людей, социальных групп, институтов и т. д.) — содержательный аспект

- получающаяся в результате непосредственного сбора данных совокупность отражающих эти объекты формальных конструктов: чисел, текстов и т.п. — формальный аспект.

Совокупность априорных представлений социолога, не предполагающих не только абстрагирования от уникальности изучаемых объектов, но и самого вычленения этих объектов, образуют основу априорной содержательной модели.

А вычленение в реальности объектов связано с формированием и операционализацией понятий, т.е. выбором конкретных объектов измерения и способов сбора данных (часть концептуальной модели реальности).

Построение концептуальной модели, включает в себя:

- формирование понятий для измерения признаков (каким образом опрашивать людей, задействовать ли способы шкалирования и т. д.) При использовании количественных методов необходимо определить точный набор значений измеряемых признаков, расположение соответствующих вариантов ответов в анкете, структуру вопроса и т. д. Применяя качественные методы — выявить метод кодировки текстов, общие свойства у разных респондентов;

- определение непосредственно измеряемых объектов (построение и корректировка выборки), решение проблем, связанных с реализацией процедуры измерения (учет влияния интервьюера на результат опроса) и т. п.;

- построение эмпирической и математической систем для обеспечения адекватности математического аппарата характеру решаемой социологической задачи.

Реализация выбранных способов сбора данных приводит нас к фрагменту формальной модели реальности.

Итак, в процессе интерпретации подлежащих анализу данных мы выделили их содержательный, концептуальный и формальный (математический) аспекты. Они отвечают построению априорной содержательной, концептуальной и формальной модели реальности в процессе измерения. Аналогичные аспекты можно выделить и в понимании искомой закономерности.

В результате работы с данными выявим содержательные и формальные закономерности. Формальная закономерность служит лишь статистическим подтверждением правильности нашего предположения о существовании содержательной закономерности.

Между содержательной и формальной закономерностью стоит концептуальная модель реальности. Мы вычленяем соотношения, которые называем, к примеру, наличием связи между рассматриваемыми понятиями, — это даст нам основания для выбора конкретного способа анализа данных (формализма).

В итоге мы приходим к формальной (математической) модели изучаемой социальной реальности. Интерпретация этой модели позволяет сделать содержательные выводы, т. е. приводит исследователя к апостериорной содержательной модели реальности.

В социологии острота проблемы адекватного соотнесения реальности с ее формальной (математической) моделью объясняется тем, что построение моделей в значительной мере определяется субъективным видением мира социологом и возможностью формализовать явления множеством способов. Так, известно более 100 способов измерения показателей связи между двумя признаками. Каждый из них отражает лишь какую-то одну сторону связи (Пирсоновский коэффициент корреляции, ранговый коэффициент Кендалла, какой-либо из энтропийных коэффициентов связи).

Предположим, что мы хотим изучить влияние социально-экономического положения в стране на воспитание молодежи[4].

Априорная модель. По существу мы уже опираемся на какие-то априорные модельные соображения, когда формулируем проблему именно указанным образом (другой социолог сформулировал бы ее по иному или вообще не увидел бы здесь проблемы). О реальных объектах пока имеем смутное представление: это предположительно либо молодежь, либо дети, либо те, кто их воспитывает (воспитатели детских садов, учителя, деятели культуры, СМИ и т. д.). Именно в их характеристиках (пока неизвестных) проявляется и социально-экономическое положение, и проблемы воспитания. Об отношениях между реальными объектами, условно названных нами содержательной закономерностью, тоже пока известно мало; мы просто предполагаем, что социально-экономическое положение как-то влияет на воспитание молодежи.

Концептуальная модель.Будем рассматривать только учителей (тем самым вычленим изучаемые объекты): выявим, как наша проблема проявляется в их жизни. Выделим некоторые стороны жизни учителей с помощью понятий «материальное положение учителя» и «производительность его труда» (формирование показателей). Будем полагать, что нас интересует причинно-следственное отношение между этими аспектами жизни учителя. Затем мы должны найти способ выражения названных понятий через наблюдаемые признаки, т. е. осуществить их операционализацию. Считаем, что первое понятие хорошо отражается признаком «зарплата учителя», а второе - признаком «средний процент успеваемости в классах». В качестве меры связи может служить коэффициент корреляции Пирсона. Вычислив конкретное значение этой меры (например, 0,8), получаем формальную закономерность, формальную модель.

Здесь важна связь между типом шкалы признака (см. тему 4) и коэффициентом связи. Например, существуют коэффициенты связи, рассчитанные на номинальные шкалы (коэффициенты, основанные на критерии Хи-квадрат); на порядковые шкалы (коэффициенты Спирмена и Кендалла), на интервальные шкалы (коэффициент Пирсона). Тип используемых шкал определяется многими обстоятельствами. Например, если материальное положение учителя измеряется его зарплатой, и мы поделим всех учителей на тех, которые получают зарплату, не превышающую стоимость потребительской корзины, и тех, зарплата которых превышает эту границу, шкала будет номинальной дихотомической. Если выделять три группы учителей — (1) обеспеченных ниже потребительской корзины, (2) на уровне потребительской корзины и (3) выше этого уровня, то используем порядковую шкалу. Если считать, что различие между учителями, получающими 3 400 и 3 600 рублей то же, что и между учителями, получающими 400 и 600 рублей, то применяется интервальная шкала. В каждом случае мы определяем свой коэффициент, одновременно выбирая и способ интерпретации результатов измерения связи.

Выбор коэффициента корреляции Пирсона предполагает следующую гипотезу: при переходе зарплаты от 400 к 600 рублям эффективность работы учителя в среднем возросла на столько же, насколько в среднем она возросла при переходе от 3 400 к 3 600 рублям (коэффициент близкий к 1 говорит о наличии содержательной связи). Повышение зарплаты учителя от 3 400 до 3 600 рублей действительно можно интерпретировать как получение учителем возможности регулярно покупать новые книги и, вследствие этого, более эффективно работать. Но данный вывод не распространяется на повышение зарплаты от 400 до 600 рублей: эти зарплаты не могут поднять материальное положение учителя даже на уровень продовольственной корзины. Здесь причина может быть в возрасте, чувстве долга, стереотипах и т. п.

Если использовать какой-либо из порядковых коэффициентов корреляции, интерпретации будут другие. Так, если окажется, что люди, живущие в нищете, в среднем хуже работают, чем люди, живущие в бедности, а последние — в среднем хуже, чем те, которые смогли «вылезти» из бедности, у нас будут основания говорить о подтверждении закономерности. Именно такой вывод позволит сделать близость порядковых коэффициентов к 1[5]. Схематично этот пример изображен на рис. 1.

Рис. 1.

Формирование и операционализация понятий при анализе данных (на условном примере) [6]

А - абстрагирование от реальности на основе взглядов исследователя, формирование представлений об объекте и предмете исследования, выделение основных понятий и связывающих их закономерностей через отнесение к ценности;

В - концептуализация: формирование эмпирической и математической систем, формирование и операционализация понятий с учетом «взаимодействия» исследователя и респондента;

С - операционализация понятий (более подробно ее можно посмотреть в работах П. Лазарсфельда, который разработал соответствующую теорию, сформулированную им на математическом языке и названную латентно-структурным анализом.)[7].

D - определение измеряемых объектов (построение и корректировка выборки), непосредственная реализация процедуры измерения;

Е - реализация метода анализа данных;

F - интерпретация результатов применения метода

Статистическая закономерность, интересующая нас в данном случае больше всего, кроме того, является результатом сжатия информации. Результаты сжатия чаще всего выражаются в виде определенных характеристик частотных (вероятностных) распределений значений рассматриваемых признаков. Так, совокупность из 1 000 значений какого-либо признака может быть сжата до одного числа — среднего арифметического значения. Множество из 2 000 значений двух признаков можно сжать до одного числа — коэффициента парной связи между этими признаками. Совокупность из 10 000 значений десяти признаков может быть сжата до девяти коэффициентов регрессионного уравнения, связывающего один из рассматриваемых признаков с девятью другими и т. д. Сжатие информации предполагает ее потерю, а потому необходимо отслеживать, правомерны ли допускаемые потери (в частности, надо решить, те ли признаки выбраны для характеристики интересующих нас процессов, верно ли определен тип шкалы, правильно ли определено смысловое содержание чисел, получающихся в результате реализации алгоритма анализа данных, какую информацию мы можем позволить потерять при сборе и анализе данных и т. д.).

Сжатие должно быть таково, чтобы исследователь мог охватить взглядом массив: например, мы не сможем разобраться в результатах типологизации на 100 классов, каждый из которых характеризуется десятью признаками — и будем сжимать информацию дальше. То же можно сказать о ситуации, когда мы выявили 200 латентных факторов. Это должно учитываться в моделях.

1.2. Специфика математико-статистических методов применительно к социологической информации

Применение математики в социологии опирается на то, что мы считаем возможным:

a) выделить некоторый фрагмент реальности;

b) построить (посредством измерения) его математическую модель (т. е. получить исходные данные);

c) изучить эту модель традиционными для математики способами (применить тот или иной алгоритм анализа данных) и прийти к некоторым выводам (в результате анализа данных получить математический результат: точное значение коэффициента корреляции, параметры уравнения регрессии и т. д.);

d) проинтерпретировать эти выводы и получить таким образом новое знание.

Первые два этапа обычно относят к области измерения (шкалирования), последние два — к области анализа данных. Но все этапы тесно связаны друг с другом.

Выделенный фрагмент реальности называется эмпирической системой (ЭС). ЭС — это совокупность интересующих нас объектов включая систему связывающих их отношений.

Процесс перевода всех компонент фрагмента реальности на формальный, математический язык, т. е. процесс измерения, позволяет нам перейти от ЭС к (МС) —математической системе (в социологии она может быть числовой или нечисловой).

Таким образом, использование математических методов в процессе проведения социологического исследования позволяет достичь следующих целей:

1. Побуждает исследователя четко формулировать свои представления об изучаемом объекте. Необходимым условием успешности здесь является комплексность анализа (использование группы методов). Так, желая сравнить величину связи между какими-либо признаками для разных совокупностей респондентов, мы, пытаясь построить математический критерий такой связи, вынуждены конкретизировать свои представления о ней. Это можно сделать многими способами (только коэффициентов парной связи между номинальными признаками известно более сотни; имея перед собой множество таких коэффициентов, мы можем понять, что есть наша связь в реальности)[8].

2. Позволяет абстрагироваться от большого количества реальных свойств изучаемых объектов

3. Дает возможность получить содержательные выводы за счет расширения круга логических умозаключений

4. Дает возможность выявить скрытые механизмы взаимодействий при анализе огромных массивов информации (с которыми обычно и имеет дело социолог) и учете огромного количества факторов (определяющих любое общественное явление).

Типичной задачей, решаемой исследователем в процессе анализа анкетных массивов, является нахождение сочетаний значений признаков, которые детерминируют некоторое поведение респондента (скажем, голосование или неголосование на выборах). Результатом решения подобной задачи может служить, например, вывод, что среди мужчин старше 40 лет с высшим экономическим образованием, живущих в сельской местности, 95 % проголосовало за лидера, т. е. что для респодентов, обладающих названными свойствами, характерна данная модель поведения. Но подобный вывод некорректен, т. к. мы не обнаруживаем всех требующихся групп респондентов. Здесь могут помочь специфические алгоритмы (например, алгоритмы типа AID, рассматриваемые ниже).

Таким образом, без применения математического аппарата трудно обойтись при решении практически любой социологической задачи.

1.3. Задачи математики применительно к социологической информации

Можно выделитьдве базовые задачи, которые социолог ставит перед математической статистикой:

- сжатие собранной эмпирической информации, направленное на вычленение скрытых в ней статистических закономерностей;

- решение проблемы соотнесения выборки и генеральной совокупности, и построения репрезентативной выборочной совокупности. При изучении статистических закономерностей социолога всегда интересует задача перенесения полученных им результатов с той совокупности объектов, которая непосредственно была обследована (с выборки) на более широкую совокупность (генеральную).

Основными объектами изучения для математической статистики являются т. н. случайные величины. Это функции, определенные на некоторых случайных событиях и принимающие числовые значения. В качестве типичного для социолога случайного события является выбор респондента. Случайными величинами могут служить признаки, определенные для этих респондентов. Выберем такой признак, как возраст: разные значения возраста (18, 24, 36,... лет) — разные значения нашей случайной величины. Случайная величина может быть и многомерной, когда ей отвечает несколько признаков, а ее значениями являются сочетания чисел — значений рассматриваемых признаков. Скажем, если наряду с возрастом мы будем учитывать пол (0 — мужчина, 1 — женщина) и зарплату (в рублях), то в качестве значений нашей трехмерной случайной величины могут выступать тройки чисел: (18, 0, 524), (36, 1, 1 200). При этом для каждой совокупности должна быть определена вероятность того, что, обследуя респондентов, социолог встретит значение из этой совокупности. Вероятностью события называют некоторую числовую характеристику степени возможности его появления в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях.

Совокупность вероятностей встречаемости значений рассматриваемой случайной величины называется отвечающим ей распределением вероятностей, или просто ее распределением. Функция, задающая для определенных наборов значений случайной величины отвечающую им вероятность, называется функцией распределения случайной величины. На практике часто используется т.н. функция плотности вероятности, определяющая вероятность встречаемости каждого значения случайной величины (нормальное распределение, имеющее вид «колокола»).

Саму вероятность исследователь никогда не наблюдает и не может измерить. Это продукт нашего мышления, абстракция. Вероятность присуща генеральной совокупности, понятие которой также является абстракцией. Вместо вероятности исследователь обычно имеет дело с ее выборочной оценкой — относительной частотой встречаемости события. Чтобы было возможно использование аппарата математической статистики, необходимо частотные выборочные распределения расценивать как выборочные представления генеральных распределений вероятностей. Каждое такое распределение ассоциируется со случайной величиной.

Например, для выборки из 10 респондентов выборочное частотное распределение, отвечающее случайной величине «Удовлетворенность трудом», будет иметь вид, представленный табл.1. С помощью тех же данных можно рассчитать и двухмерные распределения, одно из которых приведено в табл. 2 (для пары признаков).

Таблица 1

Выборочное представление частотного распределения случайной величины «Удовлетворенность трудом»

Значение признака
Частота встречаемости Значения, %
Выборочная оценка вероятности Р встречаемости значения	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Таблица 2

Выборочное представление частотного распределения двухмерной случайной величины («Пол», «Удовлетворенность трудом»)

Пол	Удовлетворенность	Итого
Итого

Математическая статистика позволяет выявить широкий круг статистических закономерностей (наборов параметров вероятностных распределений одномерных и многомерных случайных величин): меры средней тенденции, разброса значений случайных величин, связи между признаками и т. д. Результат, скажем, регрессионного анализа можно рассматривать как совокупность коэффициентов регрессии, которые в конечном итоге тоже являются некоторыми параметрами исходного многомерного распределения и т. д. Выборочные оценки параметров, рассчитанные на основе частотных распределений, называются статистиками.

Перейти от статистик к закономерностям генеральной совокупности можно, используя методы математического характера. Основные методы математической статистики обычно делят на две группы:

^- методы статистической оценки параметров (способы расчета выборочных значений параметров и перехода от выборочных значений к генеральным; математическая статистика говорит о том, какими качествами эти оценки должны обладать, чтобы как можно более походить на их генеральные прообразы, и каким образом надо строить «хорошие» статистики, отражающие параметры вероятностных распределений);

- методы проверки статистических гипотез (оценка степени правдоподобности гипотезы о наличии некоторых соотношений между случайными величинами в генеральной совокупности на основании расчета определенных характеристик соответствующих выборочных распределений).

Правила переноса результатов с выборки на генеральную совокупность базируются на рассмотрении некоторых выборочных статистик как случайных величин и изучении определенных параметров их вероятностн.

1. 4. Сложности использования математических методов в социологии

Специалисты выделяют ряд трудностей использования методов математической статистики в социологических исследованиях. Их можно свести к следующим:[9]

I. Проблемы соотношения выборки и генеральной совокупности.

1.) На практике нередко нарушаются условия вероятности совершения ожидаемого события.

Вероятность какого-либо события — это некая числовая характеристика степени возможности его появления в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях. Понятие вероятности имеет смысл, если рассматривается «круг явлений, когда при многократном осуществлении комплекса условий S доля той части случаев, когда событие А происходит, лишь изредка уклоняется сколько-нибудь значительно от некоторой средней цифры, которая, таким образом, может служить характерным показателем массовой операции (многократного повторения комплекса S) по отношению к событию А. Для указанных явлений возможно не только констатирование случайности события А, но и количественная оценка возможности его появления: вероятность того, что при осуществлении комплекса условий S произойдет событие А, равна р»[10].

В социологии само определение вероятности в некоторых ситуациях может стать бессмысленным: неясно, каков тот комплекс условий, повторение которого требуется, и вообще, будет ли он повторен. Если в одной ситуации некое событие произошло, а в другой — нет, то мы практически никогда не узнаем, является это проявлением того, что вероятность данного события меньше единицы (реализовав много ситуаций и подсчитав долю тех, в которых наше событие свершилось, мы тем самым получим оценку соответствующей вероятности), либо мы имеем дело со следствием того, что разные ситуации отвечают разным комплексам условий, задающих вероятность, и что поэтому вероятности нашего события в этих ситуациях различны.

2.) Не всегда ясно, какова изучаемая генеральная совокупность. Социолог имеет в своем распоряжении всего одну выборку, не всегда корректно рассчитанную. Методы поиска закономерностей «в среднем» в подобной ситуации нельзя отнести к математическим в полной мере. Социологи все же для удобства предполагают, что гипотетическая генеральная совокупность существует и что имеющиеся в нашем распоряжении выборочные частоты — это хорошие оценки соответствующих генеральных вероятностей, а потому работает с этим распределением так, как правила математической статистики предписывают работать с распределением вероятностей.

3.) Для многих методов отсутствуют разработанные способы перенесения результатов их применения с выборки на генеральную совокупность (о чем скажем ниже).

4.) Методы переноса результатов с выборки на генеральную совокупность обычно базируются на серьезных теориях. Если такой теории нет, социолог или интуитивно выбирает генеральную совокупность, или использует ЭВМ для создания распределений искусственным путем (такой подход Bootstrap активно развивается на Западе).

5.) Перенос результатов с выборки на генеральную совокупность может быть затруднен из-за «ремонта» выборки. Тут тоже может помочь моделирование данных на ЭВМ.

II. Отсутствие строгих обоснований возможности применения конкретных методов математической статистики.

Для некоторых методов, показавших свою эффективность при решении практических задач, отсутствуют строгие доказательства корректности их использования. Например, для применения метода регрессионного анализа к данным, полученным в результате дихотомизации номинальных признаков. Но методы используются, несмотря на их некорректность. И для обозначения совокупности таких некорректных методов, для отделения их от строгих математико-статистических подходов, был введен термин «анализ данных». Поэтому, заметим, особое значение приобретает проблема обоснованности получаемых с их помощью выводов.

III. Использование шкал низких типов.

Интересующие социолога данные, как правилo, получены по шкалам низких типов[11]. Шкалами низкого типа считают шкалы номинальные и порядковые, а шкалами высокого типа - интервальные и шкалы отношений. Шкалы низкого типа (и получаемые с их помощью данные) называют также качественными, а шкалы высокого типа (и соответствующие данные) — количественными, или числовыми[12].

Номинальной шкалой мы называем такую шкалу, с помощью которой стремимся отразить в числах только некоторое отношение равенства-неравенства между изучаемыми объектами. Типичным признаком, значения которого обычно получаются именно по номинальной шкале, является профессия респондента. Если одному респонденту приписано значение «3» («токарь»), а другому — значение «4» («пекарь»), то, имея в руках эти числа, мы можем быть уверенными в том, что рассматриваемые объекты в интересующем нас отношении различны (респонденты имеют разные профессии), но больше ничего мы о них сказать не можем.

При использовании порядковой шкалы мы ставим целью отобразить не только некоторое отношение равенства-неравенства между реальными объектами, но и содержательное отношение порядка между ними. В качестве примера может служить анкета с вопросом: «Удовлетворены ли Вы Вашей работой (ходом реформ, президентом РФ…)?» и веером из 5 (3, 7 и т. д.) вариантов ответов от «Совершенно не удовлетворен» до «Вполне удовлетворен», которым ставятся в соответствие числа от 1 до 5 (от 1 до 3, от 1 до 7, от -3 до +3 и т. д.). Здесь мы при осуществлении шкалирования ставим целью отобразить в числах не только отношение равенства респондентов по их удовлетворенности объектом, но и отношение порядка между респондентами по степени «накала» их эмоций, направленных в адрес этого объекта. И если окажется, что одному респонденту приписано число «2», а другому — «4», то мы будем полагать, что упомянутый «накал» второго респондента не просто не равен «накалу» первого, но больше такового[13].

Для чисел, полученных по шкалам низких типов, не имеет смысла большинство традиционных операций с числами. Так, вряд ли найдется человек, усматривающий что-то рациональное в утверждениях: «Среднее арифметическое значение профессий для рассматриваемой совокупности респондентов равно 3,2, и оно меньше аналогичного среднего значения для другой совокупности, равного 3,9». Что значит величина 3, 2? То, что некий средний, наиболее типичный респондент на 20% является токарем, а на 80% - пекарем[14]?

В интервальных шкалах полученные данные похожи на действительные числа, но все же таковыми не являются. Они отображают в числовых отношениях не только некоторые эмпирические отношения равенства и порядка, но и структуру эмпирических интервалов - отношения равенства и порядка для расстояний между объектами.

Возможности использования математической статистики для изучения данных, полученных по шкалам низких типов, подробнее изучаются статистикой объектов нечисловой природы[15].

IV. Необходимость соотнесения модели метода с содержанием социологической задачи.

Если для решения социологической задачи существует некоторый математический метод, то этот метод практически никогда не бывает единственным. Например, существует много мер средней тенденции, разброса частотного распределения значений признака. Для измерения связи даже между двумя номинальными признаками могут служить более 100 коэффициентов. Еще большее разнообразие присуще сложным методам изучения многомерных распределений (SPSS в одном алгоритме классификации CLUSTER предусматривает использование 6 способов измерения расстояний между объектами и 7 способов расстояний между классами, т. е. 42 варианта классификации). И за каждым методом - свое понимание изучаемого явления (средней тенденции, разброса, связи и т. д.).

Приведем пример расчета мер средней тенденции, чтобы показать, что такой выбор может диктовать нам содержание задачи (приведен Ю.Н. Толстовой): «Опишем некоторую задачу о моде в житейском смысле этого слова. Предположим, что модельер должен определить, какая длина должна быть у очередной модели женских юбок, выпускаемых фабрикой, и для этой цели опрашивает женщин рассматриваемого региона, просит их указать "любимую" длину. Если мы в качестве длины, рекомендуемой фабрике, укажем медиану соответствующего распределения, то тем самым окажемся перед риском выпустить неходовой товар: половина женщин решит, что юбка для них слишком коротка, а половина - что чересчур длинна. Покупать продукцию фабрики никто не захочет. А вот если в качестве меры средней тенденции мы используем моду, то удовлетворим женщин, выразивших наиболее часто встречающееся мнение[16].»

Терстоун, предлагая свой метод построения шкалы для измерения установки, рекомендовал на последнем этапе процедуры, при расчете приписываемого каждому респонденту итогового балла, использовать медиану в качестве среднего значения весов тех суждений, с которыми этот респондент согласился (а не среднее арифметическое).

Дэйвисон рассматривает задачу изучения пространства восприятия респондентами некоторых объектов с помощью многомерного шкалирования. Предлагается способ построения матрицы близости между объектами на основе своеобразного опроса респондентов, и для усреднения соответствующих мнений рекомендуется использовать среднее геометрическое.