Выполнение измерений

Измерения удлинения проводят для одной из двух пружин (по указанию преподавателя), для чего на подвеску помещают грузы различной массы. Сначала с помощью закреплённой вертикально линейки измеряют длину пружины с пустой подвеской – l ₀. Затем на подвеску кладут самый большой груз из полученного набора, измеряют длину l (см. рис. 4.1). Массы грузов в граммах указаны прямо на них. Затем на первый груз помещают любой другой груз, снова замеряют длину и т.д., до 5 грузов. Общую массу грузов на подвеске и результаты измерений длины заносят в табл. 4.1, где l ₀ – координата подвески без груза, l – с грузом. (Подумайте, нужно ли здесь учитывать массу подвески).

Таблица 4.1

№ п/п	l 0	m	l	D l	k c

Задание 2. Определение коэффициента упругости пружины динамическим

методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

x = A cos(w t + j 0),

(4.5)

где A – амплитуда; w = 2p /T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; j₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме D l и x (см. рис. 4.1):

F yпр = k (D l + x).

(4.6)

Записав второй закон Ньютона (4.1) в проекциях на ось x и учтя выражения (4.4) и (4.6), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

,

(4.7)

где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений и x в уравнение (4.7) получим

m w2 = k.

(4.8)

Зная циклическую частоту колебаний w и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

.

(4.9)

Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (4.9) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (4.9) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b, чтобы свести уравнение (4.9) к указанной линейной зависимости.