Погрешности косвенных измерений

Если искомая величина y вычисляется по результатам измерений нескольких величин x ₁, x ₂, x ₃: y = f (x ₁, x ₂, x ₃ ), то её абсолютную погрешность D y можно найти, применяя операцию дифференцирования:

,

(8)

где D x_i – абсолютная погрешность измеряемой величины x_i.

Например, для величины у = 3 х², абсолютная погрешность будет в 6 x раз больше, чем для величины x, полученной прямыми измерениями:

D у = (3 х 2)' D x = 6 x D x.

(9)

Относительная погрешность расчётной величины у для этого случая

,

(10)

т.е. в два раза больше, чем относительная погрешность величины х.

Ещё пример: с = 3 а ² +b ³; D с = 6 а D а + 3 b ²D b.

Приведём таблицу погрешностей (табл. 3) наиболее часто встречающихся функций.

Таблица 3

№ п/п	Функция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
	c = A ± B	D c = D A +DB	eс =
	c = AB	D c = A D A + B D B	eс =
	c =	D c =	eс =
	c = A n	D c = n (A n – 1)D A	eс = n
	c =	D c =	eс =
	c = sin A	D c = (cos A)D A	eс = (ctg A)DA
	c = ln A	D c =	eс =

И ещё один конкретный пример из лабораторной работы «Определение показателя адиабаты методом Клемана – Дезорма». Показатель g здесь определяется по формуле

,

(11)

где величины H и h определяются прямыми измерениями с приборной погрешностью D H = D h = 1 мм. Пусть при измерениях получили значения H = 202 мм, h = 56 мм. Относительную погрешность g определяем по табл. 3, 3-я строка:

eg = .

(12)

Абсолютную погрешность разности D(H – h) = D H + D h находим в 1-й строке табл. 3. В итоге

eg = .

(13)

Абсолютную погрешность найдём, умножив значение g = 202/146 = 1,38 на относительную погрешность: Dg = 1,38×0,02» 0,03. Результат измерений в этом случае следует записать в виде

.

(14)