Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Преобразования Лапласа



Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

, (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sn, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t) Изображение X(s)
d-функция  
 
t
t2
tn
e-at
a.x(t) a.X(s)
x(t - a) X(s).e-as
sn.X(s)

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s) Оригинал x(t)
a Î R, M Î R (a и М - действительные числа) M.e-at
a = a1 + j. a2 M = M1 + j.M2 (a и М - комплекные) 2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)]

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s2Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,

Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = + + =

= .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2

5.М1 + 3.М2 + 2.М3 = 2 à M2 = -4

6.М1 = 12 M3 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - + .

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t. ¨





Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 762 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.013 с)...