Елементи аналітичної геометрії на площині

Завдання 3.1. Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:

а) довжину і рівняння медіани ВЕ;

б) довжину і рівняння висоти ВD;

в) внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01;

г) координати центру ваги трикутника;

д) площу трикутника;

е) рівняння прямої, яка проходить через т. Е паралельно прямій ВС;

ж) зробити креслення.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

Завдання 3.2. Приведіть рівняння ліній до канонічного вигляду, визначте тип лінії. На кресленні вкажіть тільки ту частину, яка описується заданим рівнянням.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. y ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Завдання 3.3. Розв’язати задачу. Зробити рисунок.

1. Скласти рівняння гіперболи та її асимптот, якщо відомо, що гіпербола симетрична відносно осей координат, один з її фокусів збігається з центром кола , а ексцентриситет дорівнює 1,25.

2. Знайти відстань від фокуса гіперболи , абсциса якого додатна, до діагоналі прямокутника з вершинами у точках перетину гіперболи з еліпсом .

3. Скласти рівняння параболи та ії директриси, якщо відомо, що парабола проходить через точки перетину прямої з колом і вісь Ох є віссю симетрії параболи.

4. Скласти рівняння кола, яке проходить через фокуси еліпса і має центр у вершині еліпса, ордината якої від'ємна. Знайти точки перетину цього кола з віссю Оу.

5. Скласти рівняння вершин трикутника, утвореного асимптотами гіперболи 4 х ² ‑ 9 у ² +36=0 і прямою, яка проходить через точки перетину гіперболи з параболою 4 х ² ‑27 у =0.

6. Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, якщо один з його фокусів збігається з фокусом параболи , а відстані однієї з його точок до фокусів дорівнюють 4 і 6.

7. Скласти рівняння асимптот гіперболи, обчислити кут між ними і знайти її ексцентриситет, якщо фокуси гіперболи розташовані симетрично відносно осі Оу на осі Ох і 3 а =2 с.

8. Скласти рівняння кола, центр якого у правому фокусі еліпса 9 х ²+16 у ²=144, а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса.

9. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані у вершинах еліпса 16 х ²+25 у ² = 400, а вершини гіперболи збігаються з фокусами еліпса. Знайти рівняння асимптот і директрис гіперболи.

10. Фокуси еліпса розташовані на осі Ох симетрично відносно початку координат, а один з них збігається з фокусом параболи у = ‑16 х. Відстані однієї з точок еліпса до його фокусів рівні 3 і 7. Скласти рівняння еліпса.

11. Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться у точці перетину прямої х-2у+4=0 з віссю ординат, а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса 4 х ²+9 у ²=36.

12. Скласти рівняння кола, центр якого збігається з правою вершиною гіперболи 4 х ² ‑ 9 у ²=36, а радіус дорівнює відстані між фокусами гіперболи.

13. Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, відстань між фокусами якого дорівнює , а директриси мають рівняння .

14. Знайти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку М(‑5,3), а ексцентриситет її дорівнює 2.

15. Скласти рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, яка проходить через точку М(5; 3), а її уявна вісь рівна 12. Знайти рівняння асимптот і директрис гіперболи.

16. Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно осі координат, правий фокус якого має координати (2; 0), а рівняння директрис х = ± 8. Знайти ексцентриситет еліпса.

17. Скласти рівняння параболи, симетричної відносно осі абсцис, вершина якого збігається з початком координат, а відстань між її директрисою і фокусом рівна ексцентриситету гіперболи .

18. Скласти рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, якщо відомо, що рівняння її асимптот у = ± 1,2х і вона проходить через точку М(8; 5). Знайти ексцентриситет і директриси гіперболи.

19. Скласти рівняння кола, яке дотикається директриси параболи х ²=12 у і має центр у фокусі цієї параболи.

20. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса 9 х ²+25 у ²=225.

Скласти канонічне рівняння гіперболи, знайти рівняння її директрис і асимптот, якщо ексцентриситет гіперболи дорівнює 2.

21. Скласти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, якщо відстань від точки М(8; 12), через яку проходить еліпс, до лівого фокуса дорівнює 20. Знайти ексцентриситет і директриси еліпса.

22. Скласти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 4, а відстань між директрисами дорівнює 5.

23. Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться у правому фокусі еліпса 9 х ²+16 у ²=144, а радіус дорівнює відстані між директрисами еліпса.

24. Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі абсцис, фокус якої збігається з фокусом еліпса 16 х ²+20 у ²=320.

25. Правий фокус еліпса, симетричного відносно осей координат, збігається з фокусом параболи у ²=16 х. Відстані однієї з точок еліпса до фокусів дорівнюють 3 і 7. Скласти рівняння еліпса і його директрис.

26. Знайти рівняння директрис і асимптот гіперболи, симетричної відносно осей координат, якщо вона проходить через точку М(5; 3), а її уявна піввісь рівна 6.

27. Знайти канонічне рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, яка проходить через т. М(9; 8), а її асимптоти мають рівняння . Знайти рівняння директрис і ексцентриситет гіперболи.

28. Скласти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, відстань між фокусами якого дорівнює 2, а відстань між директрисами дорівнює 10.

29. Знайти канонічне рівняння еліпса, симетричного відносно осей координат, вершини якого мають координати (0; ) і (0; ‑ ), а ексцентриситет дорівнює .

30. Скласти рівняння гіперболи, симетричної відносно осей координат, вершини якої мають координати (‑6; 0) і (6; 0), а відстань між фокусами дорівнює 16. Знайти рівняння асимптот і директрис гіперболи.