Практичне заняття №4 «інтервальні оцінки результатів

вимірювань. Довірчі границі похибки. Виключення грубих похибок»

4.1. Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. Надано результати двадцяти вимірів довжини l_i, мм, деталі: 18,305; 18,306; 18,306; 18,309; 18,308; 18,309; 18,313; 18,308; 18,312 18,310; 18,305; 18,307; 18,309, 18,303; 18,307; 18,309; 18,304, 18,308; 18,308; 18,310.

Визначити границі довірчого інтервалу для середньоквадратичного відхилення СКО результатів спостережень.

Розв'язок: У якості оцінки математичного очікування довжини деталі ухвалюємо її середнє арифметичне = 10,3078 мм.

Точкова оцінка середньоквадратичного відхилення результатів спостережень становить = 0,0025 мм.

Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90% = 0,90, знаходимо для числа ступенів волі k = п - 1 = 20 - 1 = 19 по таблиці розподілу Пирсона:

; ;

; .

Границі довірчого інтервалу для середнього квадратического відхилення результатів спостережень знаходимо по формулі:

мм.

мм.

Отримані результати говорять про те, що дійсне значення середнього квадратического відхилення СКО результатів спостережень із імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0, 0034) мм.

Відповідь: мм, мм.

Завдання 2. Після обробки результатів 25-ти спостережень отримана точкова оцінка СКО результатів спостережень S_х = 0,0025 мм. Прийнявши рівень довірчої ймовірності Р = 1 - q = 90%, знайти границі довірчого інтервалу для СКО.

Розв'язок: По таблиці розподілу Пирсона знайдемо границі довірчого інтервалу для k = п - 1 = 24; q = 0,10:

; ;

; .

По формулі знайдемо границі довірчого інтервалу для СКО результатів спостережень:

мм.

мм.

Отримані результати говорять про те, що дійсне значення СКО з імовірністю 90 % лежить в інтервалі (0,0020 - 0,0033) мм.

Відповідь: мм, мм.

Завдання 3. При визначенні напруги були отримані наступні результати: 180 В; 182 В; 183 В; 184 В; 196 В. Оцінити придатність останнього результату при заданій імовірності 0,95.

Розв'язок: Число вимірів п = 5, отже для виявлення грубих похибок можна застосувати критерій Романовского. Розрахуємо відношення й зрівняємо його із критерієм υ_р, знайденим по таблиці (див. Додаток 3).

Таблиця 4.1.

Результати вимірів і розрахунків

	-5	-3	-2	-1	+11

Знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:

Розрахуємо критерій υ:

При рівні значимості q = 0,05 критерій Романовского для п = 5 по таблиці (Додаток 3) буде рівний: υ_р = 1,869.

Тоді υ = 1,74 < υ_р = 1,869, отже останній результат не містить грубу похибку.

Відповідь: Останній результат при заданій імовірності придатний.

Завдання 4. При вимірюванні температури були отримані результати, представлені в другій графі таблиці.

Таблиця 4.2.

Результати вимірювань і розрахунків

i	ti, °С	, °С	·104	, °С	·104
	20,42	+0,016	2,56	-0,009	0,81
	20,43	+0,026	2,75	-0,019	3,61
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,42	+0,016	2,56	+0,009	0,81
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,30	-0,104	108,16	-	-
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
	20,43	+0,026	6,76	+0,019	3,61
	20,42	+0,016	2,56	+0,009	0,81
	20,41	+0,006	0,36	-0,001	0,01
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,39	-0,014	1,96	-0,021	4,41
	20,40	-0,004	0,16	-0,011	1,21
= 20,404 °С		= 0,033 °С		= 0,016 °C
= 20,411 °С

Потрібно визначити, чи містить результат восьмого спостереження t₈ = 20,30 °С грубу похибку.

Розв'язок: Спочатку звичайними способами знаходимо середнє арифметичне і середнєквадратичне відхилення результатів спостережень:

= 20,404 °С; = 0,033 °С.

Якщо прийняти довірчу ймовірність Р = 0,95,то при n = 15, υ_0,95 = 2,493 і, оскільки:

те результат t₈ = 20,30° С містить

грубу похибку.

Якщо відкинути цей результат і повторити обчислення, то середнє арифметичне виявиться рівним = 20,411 °C, а середнєквадратичне відхилення зменшиться до = 0,016 °C. Розрахунок наведено в останніх двох графах таблиці.

Відповідь: Результат восьмого спостереження містить грубу похибку.

Завдання 5. По десятьом спостереженням було обчислене значення маси еталона кілограма. Результати обчислення наступні:

= 999,998721 г, σ = 17·10-6 г, = 5·10-6 г.

Знайти границі довірчого інтервалу, якщо рівень значимості у відсотках q = 1%.

Розв'язок: Довірча ймовірність .

Число ступенів свободи k = n - 1 = 10 - 1 = 9.

З таблиці значень коефіцієнта Стьюдента для зазначених k і Р знаходимо tp = 3,25.

Отже, г.

Дійсне значення вимірюваної величини з довірчою ймовірністю P=0,99 лежить в інтервалі ; 999,998705 г < Q < 999,998737 г.

Відповідь: Границі довірчого інтервалу: г.

4.2. Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. Зроблена вибірка обсягом n = 100 з великої партії радіоламп. Середній термін служби радіоламп виявився рівним 5000 годин. Знайдіть із надійністю 0,95 довірчий інтервал для середнього терміну служби радіолампи у всій партії, якщо середнє квадратичне відхилення терміну служби становить 40 г.

Завдання 2. Зроблено 10 незалежних вимірів випадкової величини х, підлеглої нормальному закону з невідомими параметрами М_х і δ_x.

Таблиця 4.3.

Результати вимірів

Номер виміру
Результат виміру	2,5		-2,3	1,9	-2,1	2,4	2,3	-2,5	1,5	-1,7

Знайдіть оцінку М*_х для математичного очікування і побудуйте довірчий інтервал, відповідний до довірчої ймовірності β = 0.95.

Завдання 3. Зроблено 12 вимірів напруги радіосигналу тим самим приладом, що не мають систематичної похибки, причому вибіркове середнє квадратичне відхилення S випадкових похибок виявилося рівним 0,6 В. Знайдіть границі похибок цього приладу з імовірністю 0,99.

Завдання 4. Визначити границі довірчого інтервалу, якщо задана відповідна йому довірча ймовірність Р = 0,99 і середнє квадратичне відхилення σ = 0,015.

Завдання 5. Шуканий опір був вимірян 8 раз, при цьому отримані результати: R₁ = 116,2 Ом, R₂ = 118,2 Ом, R₃ = 118,5 Ом, R₄ = 117,0 Ом, R₅ = 118,2 Ом, R₆ = 118,4 Ом, R₇ = 117,8 Ом, R₈ = 118,1 Ом. Визначите інтервал, у якому перебуває значення вимірюваного опору, з довірчою ймовірністю Р = 0,99.

Завдання 6. Знайти ймовірність того, що випадкова величина х із центром розподілу m_х = 6,0 і σ = 1,6 не перебуває в межах 3,2 ≤ х ≤ 8. Відповідь виразите у відсотках.

Завдання 7. Середнє квадратическое відхилення σ = 0,004. Визначити ймовірність того, що випадкова похибка вийде за межі довірчого інтервалу із границями ±0,012. Відповідь виразити у відсотках.

Завдання 8. Фабрика випускає 75% продукції першого сорту. Чому рівна ймовірність того, що з 300 виробів число першосортних укладено між 219 і 234?

Завдання 9. При визначенні твердості зразка отримані наступні результати: 23,6; 23,9; 24,0; 24,2; 24,3; 24,3; 23,8; 24,3; 23,8; 23,7 HRC. Визначити довірчий інтервал, у якім з довірчою ймовірністю Р_с =0,95 дійсне значення твердості зразка.

Завдання 10. Скільки вимірів треба зробити, щоб їх середнє арифметичне дало вимірювану величину з точністю до 0,05 і надійністю 90%, якщо дисперсія результатів вимірів не перевершує 0,2?

Завдання 11. Оцініть придатність пружинного манометра класу точності 1,0 на 60 кПа, якщо при його перевірці методом звірення зі зразковим манометром класу точності 0,2 у точці 50 кПа при підвищенні тиску було зафіксовано 49,5 кПа, а при зниженні 50,2 кПа.

Завдання 12. При вимірі напруги в мережі отримані наступні результати: 126,1 В; 126,2 В; 125,9 В; 126,7 В. Визначити, є чи серед них результат, що містить грубу похибку?

Завдання 13. Після проведення 5-ти кратних вимірів фізичної величини були отримані наступні результати: 203; 205; 205; 209; 204. Оцінити придатність четвертого результату.

5. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5 «Методи та методики вимірювань.

Розрахунок надійності приладів»

5.1. Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. Визначити придатність до подальшого застосування робочого вольтметра класу точності 1,0 з діапазоном вимірів від 0 В до 300 В, якщо при безпосередньому порівнянні його показань із показаннями зразкового вольтметра були отримані наступні дані:

Таблиця 5.1.

Показання вольтметрів

Робочий вольтметр, В
Зразковий вольтметр, В	60,5	119,7	183,5	238,7	298,8

Розв'язок: За умовою наведена похибка γ = 1%.

Відповідь: Робочий вольтметр не придатний.

Завдання 2. Вольтметр типу Д566/107, класу точності 0,2, має діапазон вимірювань від 0 В до 50 В. Визначити допустиму абсолютну і відносну похибки, якщо стрілка вольтметра зупинилася на розподілі шкали проти цифри 20 В.

Розв'язок: За умовою наведена похибка γ = 0,2 %.

.

Відповідь: 0,1 В; 0,5 %.

Завдання 3. Клас точності приладів Б и В однаковий, а верхня межа виміру приладу Б більше. У якому співвідношенні будуть перебувати максимальні значення абсолютних похибок вимірювань: Δ_maxБ і Δ_maxВ? Клас точності характеризувати наведеною похибкою.

Розв'язок: . Тому що за умовою завдання

Відповідь: .

Завдання 4. Для виміру напруги від 80 В до 120 В з відносною похибкою, що не перевищує 4 %, був замовлений вольтметр, що має клас точності 0,5 і верхню межу вимірів 150 В. Чи задовольняє він поставленим умовам?

Розв'язок: ;

.

Відповідь: Запропонований вольтметр задовольняє поставленим умовам.

Завдання 5. Визначити придатність до подальшого застосування робочого вольтметра класу точності 1,5 з діапазоном вимірювань від 0 В до 250 В, якщо при безпосередньому звіренні його показаннь з показаннями зразкового вольтметра були отримані наступні результати:

Таблиця 5.2.

Показання вольтметрів

Робочий вольтметр, В
Зразковий вольтметр, В	49,8	101,8	152,9	203,2	249,1

При цьому відомо, що зразковий вольтметр має систематичну похибку 0,6 В на всім діапазоні вимірів.

Відповідь: придатний.

Завдання 6. При перевірці дистанційного парогазового термометра класу точності 2,5 з межею вимірів 100°С були отримані наступні показання зразкових ртутних термометрів в оцифрованных точках, що перевіряються.

Таблиця 5.3.

Показання термометрів

Точки, що перевіряються, °С
При підвищенні t, °С
При зниженні t, °С

Оцініть придатність приладу; у випадку браку вкажіть точку, через яку прийняте дане рішення

Відповідь: прилад не придатний через точку 80°С.

5.2. Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. По даним ремонтної майстерні в середньому 50 % відмов осцилографів обумовлене виходом з ладу транзисторів, 15% - конденсаторів, 12% - резисторів, 5% - електронно-променевих трубок, а інші відмови обумовлені іншими причинами. Знайти ймовірність Р*(А) відмови осцилографа з інших причин.

Завдання 2. Два із трьох незалежно працюючих елементів вимірювального приладу відмовили. Обчислите ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні 0,2; 0,4; 0,3.

Завдання 3. У лабораторії три робочі місця по перевірці приладів. Імовірність того, що роботи ведуться на кожному з них у цей момент часу, рівна 0,6. Знайдіть імовірність того, що в цей момент задіяне хоча б одне робоче місце.

Завдання 4. Імовірність відходу частоти прийнятих коливань за межі смуги пропущення приймача через нестабільність частоти коливань передавача рівна 0,1, а через нестабільність частоти коливань гетеродину приймача 0,2. Визначите ймовірність того, що частота прийнятих коливань не вийде за межі смуги пропущення приймача.

Завдання 5. Визначите математичне очікування М_х і дисперсію σ_х² числа приладів х, що мали відмови за час випробувань на надійність, якщо випробуванню зазнає один прилад, а ймовірність його відмови рівна q.

Завдання 6. Визначити ймовірність відмови за 1000 годин вимірювального перетворювача, що полягає із двох резисторів з інтенсивністю відмов і конденсатора з інтенсивністю відмов .

Завдання 7. Визначити придатність до подальшого застосування робочого вольтметра класу точності 1,0 з діапазоном вимірів від 0 до 300 В, якщо при безпосередньому звіренні його показань із показаннями зразкового вольтметра були отримані наступні дані:

Таблиця 5.4.

Показання вольтметрів

Робочий, В
Зразковий, В	60,5	119,7	183,5	238,7	298,8

Завдання 8. Вимірювальний пристрій складається із двох приладів. Імовірність безвідмовної роботи k- го приладу за розглянутий період часу рівна 1-аk (k = 1, 2). Оцінити ймовірність того, що вимірювальний пристрій буде працювати безвідмовно, якщо поломка приладів відбувається незалежно і відмова хоча б одного з них тягне несправність пристрою.

Завдання 9. Імовірність того, що лампочка перегорить рівно через t днів, підкоряється закону p₀(t) = 0,02 e-0 ^{,02 t} . Знайти ймовірність того, що 100 днів лампочка буде працювати безвідмовно.

Завдання 10. Визначити ймовірність безвідмовної роботи Р (t) за 1000 годин для вимірювального перетворювача, що полягає з елементів з интенсивностями відмов: , , , .

Завдання 11. Визначити придатність амперметра з діапазоном виміру від 0 А до 150 А и класом точності 1,5. При безпосередньому звіренні його показань із показаннями зразкового амперметра були отримані наступні результати:

Таблиця 5.5.

Показання амперметрів

Робочий, А
Зразковий, А	19,8	41,5	58,2	81,2	99,7	122,8	148,6

Зразковий вольтметр має систематичну похибку 0,1 А.

Завдання 12. Верстат із числовим програмним керуванням видає за зміну n = 1000 виробів, з яких у середньому 2% дефектні. Знайти приблизно ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менш 970 недефектних виробів.

Завдання 13. При перевірці вольтметра класу точності 2,5 з межею вимірів 100В були отримані наступні показання зразкового і перевіряемого вольтметрів:

Таблиця 5.6.

Показання вольтметрів

Перевіряємий, В
Зразковий, В			30,5

Оцініть придатність приладу. У випадку браку вкажіть точку, через яку прийнято дане рішення.

Завдання 14. Зроблено три незалежні виміри деякої фізичної величини. Імовірність того, що при одному вимірі похибка перевищить задану точність, рівна 0,4. Визначите ймовірність того, що тільки в одному з вимірів похибка перевищить задану точність.

Завдання 15. Маємо результати вимірів (0,47 ± 0,05) мм; (647,4 ± 0,6) мм; (5580 ± 5) г; (2689,44 ± 0,27) г. Чи можна зрівняти ці виміри по точності?

6. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6 «Класи точності засобів вимірювань»