Представление и обработка нечетких знаний

До сих пор мы не принимали во внимание тот факт, что в реальных условиях знания, которыми располагает человек, всегда в какой-то степени неполны, приближенны, ненадежны. Так, в медицине всегда остаются сомнения в диагнозе заболевания, но отсутствует возможность ждать абсолютно точных свидетельств. В геологии та же ситуация: из-за большой стоимости полномасштабного изучения месторождений их оценка всегда имеется лишь приближенная. Тем не менее людям на основе таких знаний все же удается делать достаточно обоснованные выводы и принимать разумные решения. Следовательно, чтобы интеллектуальные системы были действительно полезны, они должны быть способны учитывать неполную определенность знаний и успешно действовать в таких условиях.

Неопределенность (не-фактор) может иметь различную природу. Наиболее распространенный тип недостаточной определенности знаний обусловлен объективными причинами: действием случайных и неучтенных обстоятельств, неточностью измерительных приборов, ограниченными способностями органов чувств человека, отсутствием возможности получения необходимых свидетельств. В таких случаях люди в оценках и рассуждениях прибегают к использованию вероятностей, допусков и шансов (например, шансов победить на выборах). Другой тип неопределенности обусловлен субъективными причинами: нечеткостью содержания используемых человеком понятий (например, толпа), неоднозначностью смысла слов и высказываний (например, ключ или знаменитое казнить нельзя помиловать). Неоднозначность смысла слов и высказываний часто удается устранить, приняв во внимание контекст, в котором они употребляются, но это тоже получается не всегда или не полностью.

Таким образом, неполная определенность и нечеткость имеющихся знаний – скорее типичная картина при анализе и оценке положения вещей, при построении выводов и рекомендаций, чем исключение. В процессе исследований по искусственному интеллекту для решения этой проблемы выработано несколько подходов.

Самым первым, пожалуй, можно считать использование эвристик в решении задач, в которых достаточно отдаленный прогноз развития событий невозможен (как, например, в шахматной игре). Но самое серьезное внимание этой проблеме стали уделять при создании экспертных систем, и первым здесь был применен вероятностный подход (PROSPECTOR), поскольку теория вероятностей и математическая статистика в тот период были уже достаточно развиты и весьма популярны. Однако проблемы, возникшие на этом пути, заставили обратиться к разработке особых подходов к учету неопределенности в знаниях непосредственно для экспертных систем (коэффициенты уверенности в системах MYCIN и EMYCIN). В дальнейшем исследования в этой области привели к разработке особой, нечеткой логики, основы которой были заложены Лотфи Заде.

В решении рассматриваемой проблемы применительно к экспертным системам, построенным на основе правил (систем продукций), выделяются четыре основных вопроса:

а) как количественно выразить достоверность, надежность посылок?

б) как выразить степень поддержки заключения конкретной посылкой?

в) как учесть совместное влияние нескольких посылок на заключение?

г) как строить цепочки умозаключений в условиях неопределенности?

На языке продукций эти вопросы приобретают следующий смысл. Будем обозначать ct (А) степень уверенности в А (от англ. certainty – уверенность).

Тогда первый вопрос заключается в том, как количественно выразить степень уверенности ct (А) в истинности посылки (свидетельства) А.

Второй вопрос связан с тем, что истинность посылки А в продукции А → С может не всегда влечь за собой истинность заключения С (так высокая температура вызывает лишь определенное подозрение на заболевание гриппом, но не гарантирует правильности диагноза «грипп»). Степень поддержки заключения С посылкой А в продукции А → С обозначим через ct (А → С).

Третий вопрос обусловлен тем, что одно и то же заключение С может в различной степени поддерживаться несколькими посылками (например, заключение С может поддерживаться посылкой А посредством продукции А → С с уверенностью ct (А → С) и посылкой В посредством продукции В → С с уверенностью ct (В → С)). В этом случае возникает необходимость учета степени совместной поддержки заключения несколькими посылками.

Последний вопрос вызван необходимостью оценки степени достоверности вывода, полученного посредством цепочки умозаключений (например, вывода С, полученного из посылки А применением последовательности продукций А → В, В → С, обеспечивающих степени поддержки соответственно сt (А → В) и ct (В → С)).

3.1. Подход на основе условных вероятностей [4, 17, 18]

Рассматриваемый здесь подход к построению логического вывода на основе условных вероятностей называют байесовским. Реверенд Байес был английским священником, жившим в XVIII в., который все свое время отдавал изучению статистики. Байесовский подход не является единственным подходом к построению выводов на основе использования вероятностей, но он представляется удобным в условиях, когда решение приходится принимать на основе части свидетельств и уточнять по мере поступления новых данных.

В сущности, Байес исходит из того, что любому предположению (например, что пациент болен гриппом) может быть приписана некая ненулевая априорная (от лат. a priori – из предшествующего) вероятность того, что оно истинно, чтобы затем путем привлечения новых свидетельств получить апостериорную (от лат. a posteriori – из последующего) вероятность истинности этого предположения. Если выдвинутая гипотеза действительно верна, новые свидетельства должны способствовать увеличению этой вероятности, в противном же случае должны ее уменьшать.

Примем для дальнейших рассуждений следующие обозначения:

– априорная вероятность истинности гипотезы H (от англ. Hypothesis – гипотеза);

– апостериорная вероятность истинности гипотезы Н при условии, что получено свидетельство Е (от англ. Evidence – свидетельство);

– вероятность получения свидетельства Е при условии, что гипотеза Н верна;

– вероятность получения свидетельства E при условии, что гипотеза Н неверна.

По определению условных вероятностей имеем

и .

Учитывая, что = , получаем теорему Байеса

.

Так как

= + и =1 - ,

получаем формулу, позволяющую уточнять вероятность истинности проверяемой гипотезы Н с учетом полученного свидетельства Е

.

Таким образом (продолжая рассматривать гипотезу Н о заболевании пациента гриппом), начав с грубого представления о вероятности заболевания гриппом и вероятности свидетельства Е (например, высокой температуры), мы получили более точное представление о вероятности заболевания гриппом при наличии высокой температуры.

Здесь обнаруживаются достоинства байесовского метода. Первоначальная (априорная) оценка вероятности истинности гипотезы могла быть весьма приближенной, но она позволила путем учета свидетельства Е получить более точную оценку , которую можно теперь использовать в качестве обновленного значения для нового уточнения с привлечением нового свидетельства. Иначе говоря, процесс уточнения вероятности можно повторять снова и снова с привлечением все новых и новых свидетельств, каждый раз обращаясь к одной и той же формуле. В конечном счете, если свидетельств окажется достаточно, можно получить окончательный вывод об истинности (если окажется, что близка к 1) или ложности (если окажется, что близка к 0) гипотезы Н.

Шансы и вероятности связаны между собой следующей формулой:

.

В некоторых странах использование шансов более распространено, чем использование вероятностей. Кроме того, использование шансов вместо вероятностей может быть более удобным с точки зрения вычислений.

Переходя к шансам в рассмотренных нами формулах, получим

.

Если же перейти к логарифмам величин, а в базе знаний хранить логарифмы отношений Р (Е: Н)/ Р (Е: неН), то все вычисления сводятся просто к суммированию, поскольку

= + .

Против использования шансов есть несколько возражений, главное из которых состоит в том, что крайние значения шансов равны плюс и минус бесконечности, тогда как для вероятностей – это 0 и 1. Поэтому шансы использовать удобно в тех случаях, когда ни одна из гипотез не может быть ни заведомо достоверной, ни заведомо невозможной.

Как принцип байесовский подход выглядит прекрасно, но есть и несколько проблем, связанных с его применением.

Первое замечание касается возможности вычисления величины . Эту величину легко определить, если есть возможность вычислить , а это не всегда можно сделать (например, можно подсчитать вероятность наличия температуры у пациента при наличии гриппа, но как определить вероятность наличия температуры у пациента при отсутствии гриппа?).

Одна из возможностей обойти это затруднение состоит в переходе к полной группе событий, однако это не спасает положение, если состав полной группы событий неизвестен. Можно пользоваться и грубыми оценками, если сохраняется точность диагноза. Кроме того, если уточняется в ходе работы, то можно тоже уточнять.

Второе замечание касается используемого в этом подходе предположения о независимости свидетельств. С теоретической точки зрения это замечание очень серьезно, но поскольку в конце процесса диагноза нас интересуют не столько точные значения вероятностей (это больше беспокоит статистиков), сколько соотношения вероятностей, то при одинаковом порядке ошибочности оценок вероятностей гипотез для практики более важной оказывается правильность общей картины, создаваемой экспертной системой.

3.2. Подход с использованием
коэффициентов уверенности [4, 17, 18]

Приведенные в предыдущем разделе замечания по поводу байесовского подхода – лишь часть затруднений, возникающих при использовании вероятностей. Привлекательный, на первый взгляд, метод в реальных условиях сталкивается с фактом нарастающего объема трудноразрешимых проблем, что побудило создателей экспертных систем искать иные подходы.

Коэффициенты уверенности Шортлиффа. В принципе можно создать множество разных схем учета неопределенностей и схем рассуждений на их основе. Наиболее развитой и успешной оказалась схема, реализованная Шортлиффом в экспертной системе MYCIN, представляющая собой основанную на здравом смысле модификацию байесовского метода, позволяющую достаточно просто решить поставленные во вступлении к данному разделу четыре основных вопроса:

а) как количественно выразить достоверность, надежность посылок?

б) как выразить степень поддержки заключения конкретной посылкой?

в) как учесть совместное влияние нескольких посылок на заключение?

г) как строить цепочки умозаключений в условиях неопределенности?

Коэффициенты уверенности для правила с одной посылкой. В данном случае речь идет о вычислении коэффициентов уверенности для правил вида

Е → С (если Е то С).

Если иметь возможность присваивать коэффициент уверенности как посылке, так и импликации, то их можно использвать для оценки степени определенности заключения, выводимого по данному правилу. Шортлифф применяет в данном случае коэффициенты уверенности подобно вероятностям: коэффициент уверенности ct (E) в посылке подобен p (E); коэффициент уверенности сt (Е → С) в импликации подобен p (C: E). Для определения коэффициента уверенности в заключении Шортлифф использует схему: ct (посылка)∙ ct (импликация) = ct (заключение).

Пример: «если вы обучались в ТПУ, то вы прекрасный специалист». Неопределенность здесь имеет место как в посылке (обучался еще не значит, что обучился), так и в импликации (не всякий, кто даже обучился, становится прекрасным специалистом).

Логические комбинации посылок в одном правиле. Посылкой в правиле считается все, что находится между если и то. В системе MYCIN избран принцип: делать все правила простыми. Тогда простейшими логическими комбинациями посылок являются их конъюнкия или дизъюнкция, т.е. правила вида или .

Коэффициент уверенности конъюнкции посылок в MYCIN принято оценивать по наименее надежному свидетельству

.

Соответственно, коэффициент уверенности дизъюнкции посылок в MYCIN принято оценивать по наиболее надежному свидетельству:

.

Впрочем, дизъюнкции стараются разбивать на отдельные правила, т. е. вместо правила создается пара правил и , так как это позволяет лучше видеть роль каждой посылки в формировании заключения. Но если эксперт полагает, что оценка по наиболее надежному свидетельству лучше отражает суть дела, то возможно использование и правила с логической комбинацией посылок в форме дизъюнкции.

Поддержка одного заключения множеством правил. В этой ситуации тоже могут быть предложены различные способы учета совместного влияния свидетельств на заключение. В MYCIN применена схема, подобная схеме вычисления суммарной вероятности нескольких независимых событий.

Пусть имеются правила и , первое из которых обеспечивает поддержку заключения С с уверенностью , а второе – с уверенностью . По логике вещей, если обе посылки и верны, эти два правила совместно должны обеспечивать заключению С большую поддержку, чем каждое из них в отдельности. В MYCIN это достигается вычислением степени совместной поддержки по следующей формуле:

.

При наличии более двух правил, поддерживающих одно и то же заключение, их совместное влияние может быть учтено последовательным применением этой схемы для объединения суммарной поддержки уже учтенных правил с поддержкой очередного, еще не учтенного правила.

Наглядно суть этой схемы можно представить с помощью диаграмм Венна, применяемых в учебниках по теории вероятностей. Диаграмма Венна (см. рис. 3.1) представляет собой квадрат размером 1 1 (площадью, равной 1, символизирущей сумму вероятностей полной группы независимых событий), в рамках которого овалами соответствующей площади представлены вероятности изображаемых событий. При этом площади пересечений овалов соответствуют вероятностям соответствующих совместных событий.

Согласно рассматриваемой схеме расчета степени совместной поддержки заключения несколькими правилами, степень поддержки в случае, показанном на рис. 3.1, а, равна общей площади, занимаемой овалами, помеченными и , а в случае, приведенном на рис. 3.1, б, – равна общей площади, занимаемой овалами, помеченными , и .

Учитывая, что эти площади равны площади квадрата (которая равна 1) за вычетом ее части, не входящей ни в один из овалов, тот же результат можно получить и с помощью другой схемы расчета.

Пусть – степень поддержки i -м правилом заключения С,
i = 1, 2, …, n. Пусть также . Тогда степень совместной поддержки заключения С всеми n правилами можно вычислить по формуле , согласно которой величина ct равна площади квадрата (т. е. равна 1) за вычетом ее части , не входящей ни в один из овалов.

а б

Рис. 3.1. Диаграммы Венна для двух (а) и трех (б) событий

Таким образом, использованная Шортлиффом схема объединения поддержки одного заключения множеством правил позволяет учитывать коэффициенты уверенности поддерживающих правил в произвольном порядке и объединять их по мере поступления свидетельств.

Вместе с тем важно помнить, что эти принципы учета коэффициентов уверенности исходят из предположения о независимости свидетельств, а также о том, что правомерность такого способа комбинирования не имеет иного обоснования, кроме того, что он прост, соответствует здравому смылу и общему правильному поведению людей, если не относиться к нему излишне доверчиво.

Биполярные схемы для коэффициентов уверенности. Коэффициенты уверенности, примененные в MYCIN, представляют собой грубое подобие вероятностей. В усовершенствованной системе EMYCIN для выражения степени определенности использован интервал [-1, +1] в следующем смысле:

+1 – полное доверие посылке или заключению;

0 – отсутствие знаний о посылке или заключении;

-1 – полное недоверие посылке или заключению.

Промежуточные значения выражают степень доверия или недоверия к ситуации. Все описанные для однополярных коэффициентов процедуры здесь тоже имеют место, но при вычислении max и min учитываются знаки при величинах коэффициентов (например, что +0,1 > -0,2). Биполярность коэффициентов повлияла и на вид используемых формул.

Так, для вычисления коэффициента уверенности отрицания посылки достаточно лишь поменять знак коэффициента, т. е. ct (неЕ) = - ct (E).

Процедура расчета степени поддержки заключения несколькими правилами тоже претерпела соответствующие изменения:

а) если оба коэффициента положительны, то

;

б) если оба коэффициента отрицательны, то

;

в) если один из коэффициентов положителен, а другой отрицателен, то

,

при этом, если один из коэффициентов равен +1, а другой -1, то ct = 0.

Работа с биполярными коэффициентами может привести к нереальным результатам, если правила сформулированы неточно. В частности, ошибка возникает, если не учитывается, что правила бывают обратимыми (применимыми при любых значениях коэффициентов уверенности в посылке) и необратимыми (применимыми лишь при положительных значениях коэффициента уверенности в посылке).

Например, правило «Если у вас грипп, то вызовите врача» необратимо (нереверсивно), поскольку замена посылки и заключения на противоположные превращает его в неверное правило «Если у вас не грипп, то не вызывайте врача». Напротив, правило «Если у вас высокая температура, то примите аспирин» обратимо (реверсивно), так как его обращение приводит к верному правилу «Если у вас нет высокой температуры, то не принимайте аспирин».

Многоступенчатые рассуждения и сети вывода. До сих пор речь шла о ситуациях, когда заключение отделялось от посылки одним шагом рассуждений. Более типична ситуация, когда вывод от посылок отделен рядом промежуточных шагов рассуждений.

Процесс многошаговых рассуждений с применением биполярных коэффициентов продемонстрируем на конкретном примере. Представьте себе, что вы заболели (простуда, вирусная инфекция или грипп). Что предпринять? Сеть вывода, призванная помочь вам в этом случае, приведена на рис. 3.2.

Сеть такого типа, как на рис. 3.2, представляет собой графическое изображение системы продукций, оперирующих с коэффициентами уверенности. Приведем несколько примеров записи продукций по рис. 3.2, предоставив читателю выписать остальные в качестве упражнения:

«если у вас насморк и мышечные боли и нет лихорадки, то с уверенностью 0.7 можно заключить, что это простуда»;

«если вам меньше 8 лет или больше 60 лет, то с уверенностью 0.7 можно заключить, что у вас уязвимый возраст»;

«если у вас грипп и не уязвимый возраст, то с уверенностью 0.4 можно заключить, что вам следует принять аспирин и лечь в постель»;

«если у вас острый фарингит, то с уверенностью 1.0 можно заключить, что вам следует вызвать врача».

Рис. 3.2. Сеть многоступенчатого вывода
(сплошными стрелками указаны требования наличия фактора,
а пунктирными – отсутствия)

Чтобы в полном объеме продемонстрировать вычисления с биполярными коэффициентами, воспользуемся абстрактной сетью вывода, изображенной на рис. 3.3.

На рис. 3.3 сплошными стрелками указаны условия без отрицания, а пунктирными – с отрицанием; жирными стрелками отмечены обратимые (реверсивные) правила, а стрелками обычной толщины – необратимые (нереверсивные); числа в прямоугольниках жирным шрифтом – это коэффициенты уверенности в свидетельствах (Evidence), а обычным шрифтом – это вычисленные по правилам коэффициенты уверенности в соответствующих заключениях (Conclusion); надписи min и max обращают внимание на то, что операции конъюнкция (&) и дизъюнкция () в нечеткой логике означают выбор соответственно наименьшего и наибольшего элемента.

Процесс вычислений идет снизу (от свидетельств , , , , ) вверх (к заключению ).

Коэффициент увереннности в определяется через простую необратимую импликацию, но коэффициент уверенности в положителен и правило можно применять:

ct () = 0,9 · 0,8 = 0,72.

Заключение поддерживают два обратимых правила, дающих коэффициенты уверенности с разным знаком, поэтому их объединение осуществляется по формуле для этого случая:

() = 0,9 · 0,9 = 0,81;

() = -0,3 · 0,7 = -0,21;

ct () = (0,81 - 0,21) / (1 - 0,21) = 0,74.

Для заключения левое правило применять нельзя, так как оно необратимое, а коэффициент уверенности в посылке отрицателен. Правое правило имеет коэффициент уверенности в посылке, равный –0,3, который (благодаря отрицанию) превращается в 0,3. В итоге получаем

ct () = 0,3 · 0,5 = 0,15.

Заключение поддерживается конъюнкцией посылок, поэтому из них выбирается посылка с наименьшим коэффициентом уверенности

ct ( & ) = min{ ct (); ct ()} = min{0,15; 0,74} = 0,15.

Cледовательно, c t() = 0,15 · 0,9 = 0,13.

Заключение поддерживается дизъюнкцией посылок, поэтому из них выбирается посылка с наибольшим коэффициентом уверенности:

ct ( ) = max{ ct (); ct ()} = max{0,72; 0,13} = 0,72.

Cледовательно, сt () = 0,72 · 0,8 = 0,58.

Принцип последовательного учета свидетельств работает успешно в том случае, когда применима так называемая монотонная логика. Но часто встречаются ситуации, когда она не имеет места. Это те случаи, когда какое-либо очередное свидетельство опровергает выводы, сделанные на основе предшествующих свидетельств. Для таких ситуаций разрабатываются специальные типы логик. Другого вида трудность возникает вследствие незамкнутости мира: птицы летают, но не все; можно перечислить все предметы в комнате, но нельзя перечислить то, что вне ее. В таких случаях принимается гипотеза закрытого мира: все, что вне его, то – ложь.

3.3 Нечеткая логика Заде [4, 7]

Нечетким множеством , по Лотфи Заде, называется множество, определенное на произвольном непустом множестве Х как множество пар вида

= {m _A (x)/ x }, где x Î X, m _A (x)Î[0,1].

Множество Х называется базовым множеством, или базовой шкалой (если множество Х линейно упорядочено). Функция m _A (x): Х ® [0,1]называется функцией принадлежности множества . Величина m _A (x) для каждого конкретного x Î X называется степенью принадлежности элемента х нечеткому множеству . Принято, что в нечеткое множество не входят элементы x Î X, имеющие m _A (x) = 0. Подмножество А Í Х, содержащее все те элементы x Î X, для которых m _A (x) > 0, называется носителем нечеткого множества .

Пример. В рейтинговой системе оценки знаний по каждой дисциплине задается некоторая базовая шкала баллов (обычно используется шкала [0,1000]), на которой задаются интервалы, дающие студенту право на получение оценки неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Фактически эти интервалы выступают в качестве носителей нечетких множеств неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично, так как за разные баллы из одного и того же интервала преподаватель ставит одну и ту же оценку с разной степенью уверенности. На рис. 3.4 приведены графики функций принадлежности оценок, характеризующие степень уверенности некоторого преподавателя в оценке знаний студента по дисциплине, в зависимости от величины набранного им по рейтингу балла.

Приведенный пример показывает, что функция принадлежности нечеткого множества (понятия) формируется субъективно и может иметь для одного и того же понятия различный вид у разных субъектов и даже у одного и того же субъекта при различных обстоятельствах и настроениях.

Нечеткие высказывания. Высказывание называется нечетким высказыванием, если допускается, что может быть одновременно истинным и ложным (в отличие от аристотелевской логики, где такая возможность исключается). Любое оценочное суждение, основанное на неполных или недостоверных данных, является нечетким и сопровождается обычно выражением степени уверенности (или сомнения) в его истинности. Например, утверждение «Наверное, завтра похолодает».

Мера истинности нечеткого высказывания определяется функцией принадлежности m _A (x), x Î X, заданной на множестве Х = { ложь, истина }.

При таком определении нечеткого высказывания несомненно истинное высказывание характеризуется функцией принадлежности m _A (истина) = 1(или m _A (ложь) = 0). Соответственно несомненно ложное высказывание будет характеризоваться функцией принадлежности m _A (истина) = 0(или функцией m _A (ложь) = 1). Нечеткие высказывания, характеризующиеся равной степенью уверенности и сомнения (т. е. когда m _A (истина) = 0,5и m _A (ложь) = 0,5), называют нечетко индифферентными.

В дальнейшем, во избежание путаницы, будем говорить лишь о мере истинности нечетких высказываний, если не оговаривается иное толкование. Кроме того, для упрощения записи, будем обозначать, как это принято в обычной (четкой логике), меру истинности нечеткого высказывания тем же симоволом, что и само высказывание (например, вместо m _A (истина) = 0,8 будем писать = 0,8).

Логические операции над нечеткими высказываниями. Нечеткие высказывания могут быть простыми и составными. Составные высказывания образуются из простых с помощью логических операций, часто называемых в логике также логическими связками из-за их роли в предложениях естественного языка. Так в обычной речи часто употребляются слова не, и, или, и словосочетания если, …то…; тогда и только тогда; равносильно, соответствующие основным логическим операциям математической логики.

В отличие от традиционной математической логики в нечеткой логике этим операциям придается специфический смысл. Причем, в зависимости от области применения, этот смысл может быть различным. Например, при изучении случайных явлений целесообразно степени уверенности рассматривать как вероятности и тогда логические операции над нечеткими высказываниями приобретают смысл известных операций над вероятностями случайных событий.

Здесь будет рассматриваться интерпретация логических операций над нечеткими высказываниями, предложенная основоположником нечеткой логики Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) и применяемая преимущественно в тех случаях, когда нечеткость высказываний обусловлена неполнотой информации о предмете суждения. Речь пойдет о так называемой минимаксной логике Заде.

Отрицанием нечеткого высказывания называется нечеткое высказывание , степень истинности которого определяется выражением = 1 - . Отсюда следует, что степень ложности равна степни истинности .

Конъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание & , степнь истинности которого определяется выражением & = min (, ), т. е. степень истинности нечеткого высказывания & определяется наименее истинным высказыванием.

Дизъюнкцией нечетких высказываний и называется высказывание ( Ú ), степень истинности которого определяется выражением ( Ú ) = max (, ). То есть степень истинности нечеткого высказывания ( Ú ) определяется наиболее истинным высказыванием.

Импликацией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание ® , степень истинности которого определяется выражением ® = max (1 - , ).

Данное выше определение импликации основано на логической равносильности формулы ® и формулы Ú .

Эквиваленцией (эквивалентностью) нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание «, степень истинности которого определяется выражением

« = min (max (1 - , ), max (,1 - )).

Данное определение эквиваленции основано на равносильности формулы « формуле ( ® ) & ( ® ).

Нечеткие высказывания и называются нечетко близкими, если « ³ 0,5 (т. е. степень эквивалентности высказываний не ниже 0,5), нечетко индифферентными, если « = 0,5, и нечетко неблизкими, если « £ 0,5.

В составных высказываниях порядок выполнения введенных логических операций определяется скобками, а при отсутствии скобок – в следующем порядке:, &, Ú, ®, «.

Пример. Вычислите степень истинности составного нечеткого высказывания при условии, что входящие в него простые нечеткие высказывания имеют значения степеней истинности = 0,7, = 0,4, = 0,9, а формула = ( & Ú & ) ® ( & ). Если вы правильно используете определения логических операций над нечеткими высказываниями и будете следовать принятому порядку их применения при отсутствии скобок, то вы получите = 0,4.

Введенные выше определения, как уже было сказано, представляют собой так называемую минимаксную интерпретацию логических операций над нечеткими высказываниями, предложенную Лотфи Заде. Существуют и другие интерпретации.

В математической логике логические операции, &, Úв совокупности составляют функционально полную систему логических операций. Это значит, что любое высказывание может быть описано логической формулой, составленной из простых высказываний с использованием конечного числа только этих логических операций. Аналогичным свойством по отношению к нечетким высказываниям обладает этот набор логических операций в интерпретации Заде.

Нечеткие логические формулы и их свойства. Нечеткое высказывание, степень истинности которого может принимать произвольное значение из интервала [0,1], Заде называет нечеткой логической переменной. В определении понятия нечеткой логической формулы логические переменные и их значения (константы из интервала [0,1]) считаются простейшими нечеткими логическими формулами, а само понятие нечеткой логической формулы вводится индуктивно.

Нечеткой логической формулой называется:

а) константа из интервала [0,1] или нечеткая логическая переменная;

б) всякое выражение, построенное из нечетких логических формул применением любого конечного числа логических операций (связок);

в) нечеткими логическими формулами считаются те и только те выражения, которые построены согласно названным выше пунктам.

Рассматривавшиеся ранее составные нечеткие высказывания являются нечеткими логическим формулами, если входящие в них простые нечеткие высказывания рассматривать как нечеткие логические переменные.

Важнейшим фактором в осуществлении преобразований логических формул является равносильность логических формул. В нечеткой логике возможности осуществления равносильных преобразований расширяются за счет того, что для таких преобразований здесь достаточно лишь наличия необходимой степени равносильности нечетких логических формул.

Понятие равносильности нечетких логических формул (, ,…, ) и (, ,…, ), определенных на наборах значений одних и тех же нечетких логических переменных , ,…, , вводится как обобщение равносильности четких логических формул через определение степени их равносильности.

Степень равносильности µ(, ) двух формул (, ,…, ) и (, ,…, ) определяется выражением

µ .

Формулы и называют: нечетко равносильными, если
m(, ) ³ 0,5 (пишут ); взаимно нечетко индифферентными, если m(, ) = 0,5(пишут ~ ); нечетко неравносильными, если m(, ) £ 0,5 (пишут ¹ ).

Понятие равносильности четких логических формул, как уже упоминалось, является частным случаем нечеткой равносильности нечетких логических формул. Благодаря тому, что для нечеткой равносильности формул и достаточно, чтобы m(, ) ³ 0,5, нечетко равносильными могут быть такие формулы и , которые в четком понимании не являются равносильными (эквивалентными). Такими, например, являются формулы (, ) = ( ) и (, ) = ( & ), степень равносильности которых при {0,8; 0,6; 0,7} и {0,3; 0,4} равна 0,6.

Хотя нечеткая логика Заде является наиболее теоретически обоснованной и имеет множество практических применений, при ее использовании возникает немало трудностей из-за отсутствия общепринятого языка для выражения уверенности в нечетких суждениях.

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите виды причин неопределенности в знаниях. Приведите собственные примеры соответствующих случаев.

2. Какие четыре основных вопроса порождает неопределенность в знаниях применительно к экспертным системам, построенным на основе правил (систем продукций)?

3. Чем объясняется предпочтительность подхода Байеса в случаях, когда ни одна из гипотез не может быть ни заведомо достоверной, ни заведомо невозможной?

4. В чем заключаются основные трудности, связанные с применением подхода Байеса? Каковы возможные пути их преодоления?

5. Как решаются с помощью коэффициентов уверенности Шортлиффа упомянутые в пункте 2 четыре основных вопроса, порождаемых неопределенностью в знаниях?

6. Найдите степень поддержки заключения С правилами , , (т. е. для случая, изображенного на рис. 4.1, б при значениях: = 0,5; = 0,2; = 0,4. Получилось ли у вас = 0,76?

7. Выпишите все правила системы продукций, относящейся к рис. 4.2, и проследите вывод рекомендаций с их помощью для нескольких конкретных ситуаций.

8. Измените значения коэффициентов уверенности в свидетельствах на рис. 4.3 и произведите заново расчет уверенности в заключении.

9. Пусть , , – нечеткие высказывания по Заде в поддержку заключения С, характеризуемые соответственно степенями истинности = 0,5; = 0,2; = 0,4. Определите степень истинности по логике Заде, если эти высказывания логически связаны между собой формулой (()&() ()). Получилось ли у вас 0,8?

10. Могут ли быть нечетко равносильными формулы, логически неэквивалентные друг другу в четком смысле?

11. Определите степень равносильности формул (, ) = ( ) и (, ) = ( & ), при {0,2; 0,4} и {0,6; 0,7; 0,8}. Получилось ли у вас число 0,2? О чем это говорит?

12. Постройте шкалу (подобную рис. 4.4) функций принадлежности для нечетких понятий бедный, обеспеченный, богатый в вашем представлении. Проверьте непротиворечивость вашего определения этих понятий. К каким категориям вы отнесете семью с месячным душевым доходом, равным 5 000 руб., 10000 руб., 15000, 20000 руб. и с какой уверенностью?