 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Бином Ньютона
|
|
Из элементарной математики хорошо известны формулы сокращенного умножения:
(а+b)2 =а2 +2аb+b2 и (а+b)з=аз+За2 b + Заb2 + bЗ.
Число всех k –элементных подмножеств n -элементного множества будем обозначать 
. Символ называется биномиальным коэффициентом, исходя из следующей формулы для n -й степени бинома (x+y).
(x+y)n = У xk yn-k
Чтобы убедится в истинности этой формулы, достаточно заметить, что коэффициент при xk yn-k равен числу способов которыми из n сомножителей (x+y) можно выбрать k сомножителей.
С числами 
связано функциональное тождество, называемое формулой бинома Ньютона. Из элементарной математики хорошо известны формулы сокращенного умножения:'
(а + b)2 = а2+ 2аb +b2, (а + b)3 = а3 + За2 b + Заb2 + b3.
Эти формулы можно записать так:
(a + b)2 = (C02 a2 b0 + C12 аb + C02 а0 b2;
(а + b)3 = C02 a3 b0 + C13 а2 b1 + C23 а1 b2 + C33 а0 b3.
Имеет место и общая закономерность: справедливо равенство:
(а + b)n = C0n аn b0 + C1n аn-1 b1 + C2n аn-2 b2 +... + Cnn а0 bn.
Это равенство и называется биномом Ньютона, а коэффициенты C0n, C1n, C2n,..., Cnn называются биномиальными коэффициентами.
Если положить, а = b = 1, то из формулы бинома Ньютона вытекает следующее важное соотношение: (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n +... + Cnn = 2n - формула суммы биномиальных коэффициентов.
Если положить в биноме Ньютона а =1, b = -1,то
C0n - C1n + C2n -... +(-1)n Cnn = 0.
Поскольку 
= 
, то биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов в формуле бинома Ньютона, равны.
Все свойства хорошо просматриваются из треугольника Паскаля.
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 300 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
