Значения обратных функций для получения дискретного распределения

Значения обратных функций для получения дискретного распределения

i
xi
bi	0,447	0,017	0,038	0,151	0,110	0,007	0,230
gi	0,447	0,464	0,502	0,653	0,763	0,770	1,000

Воспользуемся методом обратных функций. Сначала найдем сумму всех частот – получим S=291. После этого построим таблицу нормированных значений b_i=x_i/S (третья строка табл. 1). Далее рассчитаем значения дискретной функции по формуле:

Полученные значения находятся в четвертой строке табл. 1.. Построим график дискретной функции (рис. 1.). Далее вос­пользуемся программой получения случайных величин, распределенных равномерно на отрезке (0,1), и каждый раз будем получать случайную величину p_t, По­сле этого выбор объекта с номером i осуществляется при выполне­нии соотношения

g_i-1 < p_t <= g_i

Рис.1. Получение дискретного распределения

Моделирование непрерывной случайной величины

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин, можно воспользоваться методом обратной функции. Если случайная величина Y имеет плотность распределения f(y), то распределение случайной величины

является равномерным на интервале (0,1). Чтобы получить число, принадлежащее последовательности случайных чисел {y_i}, имеющих функцию плотности f(y), необходимо разрешить относительно y_i уравнение

где x_i - число, принадлежащее последовательности случайных чисел равномерно распределенных на интервале от (0,1).

Пример. Необходимо получить случайные числа с показательным законом распределения (например, интервалов времени между поступлениями заявок на обслуживание):

.

- случайное число, имеющее равномерное распределение на интервале (0,1). Тогда

Этот способ получения случайных чисел с заданным законом распределения имеет ограниченную сферу применения, так как для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах моделирования, интеграл не берется, т.е. приходится прибегать к численным методам решения, что увеличивает затраты вычислительных ресурсов на получение каждого числа; даже для случаев, когда интеграл берется в конечном виде получаются формулы, содержащие действия логарифмирования, извлечения корня и т.д., что также резко увеличивает затраты машинного времени на получение каждого случайного числа. Поэтому на практике часто пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел, которые можно классифицировать следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида; б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Рассмотрим приближенный универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел { y_j } с функцией плотности f_h(y), значения которой лежат в интервале (a,b). Разобъем интервал (a,b) на m интервалов (рис.5), и будем считать f_h(y) на каждом интервале постоянной. Разбивать необходимо так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a_k, a_k+1) была постоянной, т.е.:

Рис. 5. Кусочная аппроксимация функции плотности

В таком случае, алгоритм этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий:

1) Генерируется случайное равномерно распределенной число x_i из интервала (0,1);

2) с помощью этого числа выбирается интервал (a_k, a_k+1);

3) генерируется число x_i+1 ;

4) вычисляется случайное число y_j =a_k+ x_i+1 (a_k+1-a_k) с требуемым законом распределения.

Рассмотрим пример применения способа преобразования последовательности равномерно распределенных случайных чисел {x_i} в последовательность с заданным законом распределения {y_i} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом распределения, т.е. не являются универсальными.

Пример. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {y_i}, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением s:

Рис. 2. Вид нормального распределения

Будем формировать случайные числа t_j в виде сумм последовательностей случайных чисел {x_i}, равномерно распределенных на интервале от (0,1). Можно воспользоваться центральной предельной теоремой: Если X₁ , X₂,..., X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание M(X_i)=a и дисперсию s², то при N ® ¥ сумма асимптотически нормальна с математическим ожиданием Na и средним квадратическим отклонением . Практически достаточно N=8¸12, а в простейших случаях - 4¸5. Преимущество этого способа - высокое быстродействие. Недос­татком является игнорирование «хвостов» нормального распределе­ния, которые могут уходить в обе стороны от величины т на рас­стояние, превышающее 6 s. Поэтому при проведении особо точных экспериментов применяются другие - более точные (но более мед­ленные) способы. В современных системах имитационного моделирования обычно используются не менее двух программных датчи­ков случайных величин, распределенных по нормальному закону (их выбор осуществляется автоматически управляющей программой).

Треугольное распределение. Треугольное распределение применяется в тех случаях, когда о случайной величине ничего неизвестно, кроме наиболее вероятного значения и диапазона возможных значений этой случайной величины (рис. 3).

f(x)

f(С)