Перехід від однієї системи одиниць до іншої

Не зменшуючи загальності будемо розглядати лише механічні системи з трьома основними одиницями вимірювання , , . Чи можна вибрати в ролі первинних величин які-небудь три інші величини , , ? Очевидно, що це можна зробити тоді, коли:

1) розмірності , , є незалежними функціями від , , , тобто для

2) можливе однозначне зворотне перетворення, тобто , , можна єдиним чином виразити через , , .

Вияснимо, при якій умові обидві вимоги виконуються. Нехай

, , .

Прологарифмуємо

(3.1)

Система (3.1) має єдиний розв’язок, якщо:

. (3.2)

Умова (3.2) означає, що , , однозначно виражаються через , , .

Ця ж умова вказує також на незалежність , , Дійсно, якщо б виконувалась рівність , звідки , то тоді , , , а це означає, що перша стрічка є лінійною комбінацією другої та третьої (тобто визначник рівний нулю), що суперечить умові (3.2).

Отже, умовою можливості вибору в ролі основних одиниць , , є умова (3.1).

Приклад, первинними величинами можуть бути сила, час і довжина, оскільки

.

Не можуть бути: сила, швидкість та потужність.