Характеристики временных рядов

Временной ряд это ряд наблюдаемых значений исследуемой переменной, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.

Уровни временного ряда - это наблюдения у_t (t =1, 2…, n), которые включены в состав временного ряда.

Моментный временной ряд - это временной ряд, в котором уровни фиксируют значение исследуемой переменной на определенный момент времени.

Интервальный временной ряд - это временной ряд, в котором уровни характеризуют значение исследуемой переменной за определённый период времени.

Производный временной ряд - это временной ряд, в котором уровни являются производными величинами (средними или относительными показателями).

Основные цели исследования переменных, представленных временными рядами:

1) характеристика структуры временного ряда;

2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.

Идентификация модели временного ряда - это выявление основных компонент, которые входят в состав исследуемого временного ряда.

В составе временных рядов выделяют два вида компонент - систематические и случайные компоненты.

Систематическая компонента временного ряда - это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов.

Существуют три основные систематические компоненты временного ряда: тренд, сезонность, цикличность.

Тренд - это систематическая линейная или нелинейная компонента, которая изменяется во времени.

Сезонность - это периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличность - это периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года считается длиной цикла.

Систематические компоненты могут одновременно присутствовать во временном ряду.

Случайная компонента временного ряда - это случайный шум или ошибка, которые нерегулярно воздействуют на временной ряд.

Основные причины случайного шума:

1) факторы резкого и внезапного действия;

2) действия текущих факторов.

Шум, возникший в результате факторов резкого и внезапного действия, называется катастрофическими колебаниями, потому что оказывает наиболее сильное влияние на основную тенденцию временного ряда.

Шум, возникший в результате действия текущих факторов, может быть связан с ошибками наблюдений.

Отдельный уровень временного ряда у_t может быть представлен в виде функции от основных компонент:

F(T,S,C,e),

где Т - трендовая компонента; S - сезонная компонента;

С - циклическая компонента; e - случайный шум.

Метод проверки гипотез о существовании тренда.

Имеется временной ряд, содержащий N наблюдений. Данный временной ряд разбивается на две равные подвыборки – у_i объёмом n_i, (i =1,2…, n) и у_j объемом n_j (j = n +1…, N).

Для подвыборок у_i и у_j необходимо рассчитать выборочные характеристики:

1) средние арифметические значения:

и

2) выборочные дисперсии:

и

При проверке предположения о наличии тренда во временном ряду выдвигается основная гипотеза Н ₀: Н ₀ m _i = m _j. Обратной является гипотеза Н ₁ о неравенстве генеральных средних для двух выделенных подвыборок: Н ₁: m _i ≠ m _j.

Основная гипотеза Н ₀: m _i = m _j, проверяется при справедливости гипотезы о равенстве генеральных дисперсий: Н ₀: σ ² _i = σ ² _j; Н ₁: σ ² _i ≠ σ ² _j.

Выдвинутая гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F -критерия Фишера.

Критическое значение F -критерия определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора:

F _крит (α; k ₁; k ₂),

где α - уровень значимости; k ₁ = n - 1 и k ₂ = N - n - 1 - степени свободы.

Наблюдаемое значение F -критерия F _набл,

для проверки гипотезы Н ₀: σ ² _i = σ ² _j; при условии, что S_i ² > S_j ².

Если F _набл >F _крит, то гипотеза Н ₀: σ ² _i = σ ² _j принимается, и предположение о равенстве генеральных дисперсий считается справедливым.

Если F _набл ≤ F _крит, то гипотеза Н ₀: σ ² _i = σ ² _j отклоняется, и предположение о равенстве генеральных дисперсий отклоняется.

Проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних с помощью t -критерия Стьюдента.

Критическое значение t -критерия t _крит(α; N -2) определяется по таблице распределений t -критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t -критерия t _набл для проверки гипотезы Н ₀: m _i = m _j,

Если t _набл > t _крит, то основная гипотеза о равенстве генеральных средних отклоняется, и во временном ряду присутствует тренд.

Если t _набл ≤ t _крит, то основная гипотеза о равенстве генеральных средних подтверждается, и во временном ряду отсутствует тренд.

Сезонные и циклические компоненты временного ряда.

Основные методы моделирования сезонных и циклических колебаний временного ряда:

1) расчет сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной моделей временного ряда;

2) применение сезонных фиктивных переменных;

3) анализ сезонности с помощью автокорреляционной функции;

Циклические колебания моделируются аналогично сезонным колебаниям. Рассмотрим подробнее метод расчета сезонных компонент.

Аддитивная модель временного ряда используется в том случае, если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени:

у_t = T _t + S_t + e_t,

где T - трендовая компонента; S - сезонная компонента;

e - случайный шум.

Мультипликативная модель временного ряда используется в том случае, если амплитуда сезонных колебании со временем изменяется,

у_t = T _t ´ S_t ´ e_t,

Перед расчетом сезонной компоненты исходный временной ряд необходимо выровнять с помощью методов механического выравнивания (таких как метод скользящих средних, экспоненциальное сглаживание, медианное сглаживание). В результате получают ряд выровненных значений .

Для аддитивной модели временного ряда в качестве сезонной компоненты используется абсолютное отклонение S а _i.

Абсолютное отклонение в i -ом сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений исходного и выровненного уровней ряда:

где i - номер сезона (периода времени внутри года, например месяца или квартала), i = 1, 2,…, L; j - номер года, j = 1,2,…, m.

Для мультипликативной модели временного ряда в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности Is_i,.

Индекс сезонности в i -ом сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений исходного уровня ряда к выровненному:

Абсолютное отклонение и индекс сезонности как сезонные компоненты должны удовлетворять двум условиям:

1) в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент (абсолютных отклонений Sа_i) должна быть равна нулю;

2) в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент (индексов сезонности Is_i) должно быть равно единице.

Сезонные фиктивные переменные. Фиктивная переменная (dummy variable) - это атрибутивная, или качественная, факторная переменная, которая представлена с помощью определенного цифрового кода.

Модель регрессии с переменной структурой - это модель регрессии, которая включает в качестве факторной переменной (факторных переменных) фиктивную переменную.

Сезонные фиктивные переменные - это один из методов моделирования сезонных компонент временного ряда. Суть данного подхода заключается в том, что временной ряд аппроксимируется моделью регрессии, которая, помимо переменной времени, содержит также сезонные фиктивные переменные.

Количество сезонных фиктивных переменных, включенных в модель регрессии, всегда должно быть на единицу меньше сезонов внутри года. При моделировании годовых данных модель регрессии, помимо переменной времени, должна содержать одиннадцать фиктивных сезонных переменных. При моделировании поквартальных данных модель регрессии должна содержать три фиктивные сезонные переменные.

Каждому из сезонов соответствует определённое сочетание фиктивных переменных. Сезон, для которого значения всёх фиктивных переменных равны нулю, принимается за базу сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных принимает значение, равное единице.

При моделировании поквартальных данных значения фиктивных переменных D ₁, D ₂, D ₃ будут принимать следующие значения для каждого из кварталов:

Квартал	D2	D3	D4

Общий вид модели регрессии с переменной структурой для поквартальных данных:

Базисная модель регрессии представляет собой модель тренда для первого квартала:

Частные случаи модели регрессии с переменной структурой - это модели трендов для остальных кварталов:

- для второго квартала;

- для третьего квартала;

- для четвертого квартала.

Оценка сезонной компоненты для каждого сезона рассчитывается как разность между средним значением свободных членов всех частных моделей регрессии и значением постоянного члена одной из моделей.

Среднее значение свободных членов всех моделей регрессий:

Автокорреляция - это корреляция, которая возникает между уровнями исследуемой переменной, т.е. корреляция во времени.

Автокорреляция уровней временного ряда - это корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Временной лаг (τ) - это величина сдвига между временными рядами наблюдений. Величина временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Если величина временного лага равна единице (τ = 1), то между уровнями х_t и х _t-1 временного ряда существует корреляционная зависимость, которую можно охарактеризовать коэффициентом автокорреляции первого порядка между временными рядами х₁ … х_n-1 и х₂... х_n.

Если величина временного лага равна двум (τ = 2), то между уровнями х_t и х_t-2 временного ряда существует корреляционная зависимость, которую можно охарактеризовать коэффициентом автокорреляции второго порядка между временными рядами х₁ … х_n-2 и х₃... х_n.

При исследовании автокорреляции рекомендуется брать максимальный порядок коэффициента автокорреляции равным n /4, где n - число уровней временного ряда.

Оценкой коэффициента автокорреляции порядка τ является выборочный коэффициент автокорреляции порядка τ:

где - среднее арифметическое произведения двух рядов, взятых с лагом τ;

- значение среднего уровня ряда х_{1- τ}, х_{2- τ},…, х_n;

- значение среднего уровня ряда х₁, х₂,…, х_{n- τ I} ,

S (х_t), S (х_{t- τ}) - средние квадратические отклонения.

На основании автокорреляционных коэффициентов осуществляется анализ структуры временного ряда. Рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции для исследуемого временного ряда, можно определить лаг τ, для которого коэффициент автокорреляции r_τ является максимальным. Если максимальным окажется значение коэффициента автокорреляции первого порядка r_τ=1, то исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту. Если максимальным окажется значение коэффициента автокорреляции порядка τ, то исследуемый временной ряд содержит сезонную или циклическую компоненту.

Если ни один из рассчитанных коэффициентов автокорреляции r_τ (τ = 1,2…, L) не окажется значимым, то временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания связаны с воздействием случайной компоненты или временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.

Детерминированный временной ряд - это временной ряд, значения уровней которого точно определены какой-либо математической функцией.

Случайный временной ряд - это временной ряд, значения уровней которого могут быть описаны с помощью функции распределения вероятностей.

Стохастический процесс - это процесс, который развивается во времени в соответствии с законами теории вероятностей. К стохастическим процессам относится класс процессов, называемых стационарными.

Стационарный процесс - это стохастический процесс, основные свойства которого остаются постоянными во времени. Обозначим через у_t уровень временного ряда.

Можно выделить следующие свойства стационарного процесса:

1) Е (у_t) = ` у = const - постоянное математическое ожидание стационарного ряда Е (у_t), т.е. среднее значение временного ряда, вокруг которого изменяются уровни является величиной постоянной;

2) D(у) = Е(у_t - ` у) = σ²(у) = const – постоянная дисперсия стационарного ряда, которая определяет размах его колебаний относительно среднего значения уровней ряда;

3) R_τ (у_t) = соv (у_t, у_t+τ) = Е [(у_t - ` у)(у<sub>t+τ</sub> - ` у)] - постоянная автоковариация стационарного ряда с лагом τ, т.е. ковариация между значениями уровней временного ряда у_t и у_t+τ отделёнными интервалом в τ единиц времени. Для стационарных рядов автоковариация зависит только от величины лага τ, поэтому R _{τ =0}(у_t) = σ ²(y).

4) постоянство коэффициентов автокорреляции порядка τ стационарного ряда, т.е. автокорреляция является нормированной автоковариацией:

поскольку для стационарного процесса σ ²(у) = const, следовательно, коэффициент автокорреляции порядка τ равен

Нестационарный временной ряд - это временной ряд, который не удовлетворяет перечисленным свойствам.

Белый шум - это случайный процесс, который является частным случаем стационарных временных рядов.

Случайная последовательность значений у ₁, у ₂,..., у_N, называется белым шумом, если выполняются следующие условия:

1) математическое ожидание случайной последовательности равно нулю, т.е. Е (Y _t) = 0 (t = 1, 2,…, N);

2) элементы случайной последовательности являются некоррелированными одинаково распределенными величинами;

3) дисперсия случайной последовательности является постоянной, т.е. D(Y _t) = σ ²= const. Белый шум - это абсолютно теоретический процесс, однако он является весьма важной математической моделью, которая используется при решении множества практических задач.

Стационарный временной ряд - это стохастический временной ряд, математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция которого являются постоянными во времени. К линейным моделям стационарных временных рядов относятся:

1) модели авторегрессии;

2) модели скользящего среднего;

3) смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего.

В основе модели авторегрессии лежит утверждение о том, что большинство временных рядов содержат уровни, последовательно зависящие друг от друга. Поэтому в модели авторегрессии каждый уровень равен сумме случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих р уровней. Авторегрессионная модель порядка р обозначается как АР (р) или АR (р).

Общий вид модели авторегрессии порядка р:

где р - это порядок авторегрессии; δ _i - неизвестные коэффициенты модели авторегрессии; v _t - белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием).

Модель авторегрессии первого порядка АР (1):

у_t = δ у_t-1 + v _t.

Данная модель называется марковским процессом, поскольку значения переменной у в текущий момент времени t зависят только от значений переменной у в предыдущий момент времени (t – 1).

Модель авторегрессии второго порядка АР(2):

у_t = δ₁ у_{t- 1} + δ₂ у_{t- 2} + v _t.

Данная модель имеет название «процесс Юла».

В модели скользящего среднего уровень временного ряда представлен в виде алгебраической суммы членов ряда белого шума с числом слагаемых q. Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC (q) или МА (q).

Общая модель скользящего среднего порядка q:

где q - это порядок скользящего среднего; φ_i - неизвестные коэффициенты, подлежащие оцениванию; v _t - белый шум.

Наиболее широко применяются модели скользящего среднего первого и второго порядков - CC (1) и CC (2). Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно должны быть положительными.

Смешанная модель авторегрессии скользящего среднего включает и элементы модели авторегрессии, и элементы модели скользящего среднего. Она обозначается как АРСС(р,q) или АRМА(р,q).

Чаще всего используется смешанная модель с одним параметром аевторегрессии р = 1 и одним параметром скользящего среднего q = 1.

Она записывается как АРСС(1,1):

где δ - коэффициент модели авторегрессии; φ - коэффициент модели скользящего среднего; v _t - белый шум.

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) - это модель, которая используется при моделировании нестационарных временных рядов.

Общий вид модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего:

где С - константа; e _t - не компенсированный моделью случайный остаток; АR - это процесс авторегрессии, входящий в состав модели АРПСС:

у_t=α + δ₁х_t-1 + δ₂х_t-2 +...+ e,

α - константа (свободный член); δ _i - коэффициенты модели авторегрессии i =1,2,…; e - случайное воздействие (ошибка);

МА - это процесс скользящего среднего, входящий в состав модели АРПСС:

у_t = m + e_t - θ₁e_t-1 - θ₂e_t-2 -...,

m - константа; θ_j - коэффициенты модели скользящего среднего j = 1, 2, …; e - случайное воздействие (ошибка).

В процессе моделирования временного ряда с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего выделяют три этапа.

1. Проверка временного ряда на стационарность. Временной ряд является стационарным, если его среднее, дисперсия и автокорреляция постоянны во времени. Ряд приводится к стационарному виду путём удаления сезонной, циклической и трендовой компонент. Такой ряд называется стационарным рядом случайных остатков. Проверка исходного временного ряда на стационарность осуществляется с помощью автокорреляционной функции (АКФ) и частной автокорреляционной функции (ЧАКФ) остатков модели. Применение модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего подразумевает обязательную стационарность временного ряда.

2. Идентификация порядка модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего и оценивание её коэффициентов. На данном этапе определяется количество параметров авторегрессии р и скользящего среднего q, которые необходимо включить в модель. Для оценки порядка модели используется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия, заключающийся в минимизации суммы квадратов остатков модели. Оценка значимости полученных коэффициентов модели осуществляется с помощью t -статистики Стьюдента. Если t -статистика не значима для какого-либо коэффициента, то он просто удаляется из модели.

3. Прогноз. На основании оценённой модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется расчет новых значений временного ряда и строится доверительный интервал для прогноза.