Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вопросы:
4. Оценка параметров линейной модели множественной регрессии.
5. Оценка качества множественной линейной регрессии.
6. Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей.
Множественная регрессия является обобщением парной регрессии. Она используется для описания зависимости между объясняемой (зависимой) переменой У и объясняющими (независимыми) переменными Х1,Х2,…,Хk. Множественная регрессия может быть как линейная, так и нелинейная, но наибольшее распространение в экономике получила линейная множественная регрессия.
1.
Теоретическая линейная модель множественной регрессии имеет вид:
(1)
соответствующую выборочную регрессию обозначим:
(2)
Как и в парной регрессии случайный член ε должен удовлетворять основным предположениям регрессионного анализа. Тогда с помощью МНК получают наилучшие несмещенные и эффективные оценки параметров теоретической регрессии. Кроме того переменные Х1,Х2,…,Хk должны быть некоррелированы (линейно независимы) друг с другом. Для того, чтобы записать формулы для оценки коэффициентов регрессии (2), полученные на основе МНК, введем следующие обозначения:
Тогда можно записать в векторно-матричной форме теоретическую модель:
и выборочную регрессию
.
МНК приводит к следующей формуле для оценки вектора коэффициентов выборочной регрессии:
(3)
Для оценки коэффициентов множественной линейной регрессии с двумя независимыми переменными , можно решить систему уравнений:
(4)
Как и в парной линейной регрессии для множественной регрессии рассчитывается стандартная ошибка регрессии S:
(5)
и стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
(6)
значимость коэффициентов проверяется с помощью t-критерия.
(7)
имеющего распространение Стьюдента с числом степеней свободы v= n-k-1.
2.
Для оценки качества регрессии используется коэффициент (индекс) детерминации:
, (8)
чем ближе к 1, тем выше качество регрессии.
Для проверки значимости коэффициента детерминации используется критерий Фишера или F- статистика.
(9)
с v1 =k, v2 =n-k-1 степенями свободы.
В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Для компенсации такого увеличения вводится скорректированный (или нормированный) коэффициент детерминации:
(10)
Если увеличение доли объясняемой регрессии при добавлении новой переменной мало, то может уменьшиться. Значит, добавлять новую переменную нецелесообразно.
Пример 4:
Пусть рассматривается зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников. Собраны статистические данные по 6 однотипным предприятиям. Данные в млн. ден. ед. приводятся в таблице 1.
Таблица 1
Номер предприятия, i | Прибыль i-го предприятия, уi | Затраты на новое оборудование i-го предприятия, хi1 | Затраты на повышение квалификации на i-м предприятии, хi2 |
Построить двухфакторную линейную регрессию и оценить ее значимость. Введем обозначения:
Транспонируем матрицу Х:
Обращение этой матрицы:
таким образом зависимость прибыли от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников можно описать следующей регрессией:
Используя формулу (5), где k=2 рассчитаем стандартную ошибку регрессии S=0,636.
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии рассчитаем, используя формулу (6):
Аналогично:
Проверим значимость коэффициентов регрессии а1, а2. посчитаем tрасч.
Выберем уровень значимости , число степеней свободы
значит коэффициент а1 значим.
Оценим значимость коэффициента а2:
Коэффициент а2 незначим.
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (7) . Прибыль предприятия на 96% зависит от затрат на новое оборудование и технику и повышение квалификации на 4% от прочих и случайных факторов. Проверим значимость коэффициента детерминации. Рассчитаем Fрасч.:
т.о. коэффициент детерминации значим, уравнение регрессии значимо.
3.
Большое значение в анализе на основе многофакторной регрессии имеет сравнение влияния факторов на зависимый показатель у. Коэффициенты регрессии для этой цели не используется, из-за различий единиц измерения и различной степени колеблемости. От этих недостатков свободные коэффициенты эластичности:
(11)
Эластичность показывает, на сколько процентов в среднем изменяется зависимый показатель у при изменении переменной на 1% при условии неизменности значений остальных переменных. Чем больше , тем больше влияние соответствующей переменной. Как и в парной регрессии для множественной регрессии различают точечный прогноз и интервальный прогноз. Точечный прогноз (число) получают при подстановке прогнозных значений независимых переменных в уравнение множественной регрессии. Обозначим через:
(12)
вектор прогнозных значений независимых переменных, тогда точечный прогноз
(13)
или
(14)
Стандартная ошибка предсказания в случае множественной регрессии определяется следующим образом:
(15)
Выберем уровень значимости α по таблице распределения Стьюдента. Для уровня значимости α и числа степеней свободы ν = n-k-1 найдем tкр. Тогда истинное значение ур с вероятностью 1- α попадает в интервал:
(16)
Тема 5:
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 484 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!