Преобразование единичного квадрата

Четыре вектора положения точек единичного квадрата с одним углом в начале координат записываются в виде

Применение общего матричного преобразования к единичному квадрату приводит к следующему:

.

Рис. 3.1. Преобразования единичного квадрата

Из полученного соотношения можно сделать вывод, что координаты В * определяются первой строкой матрицы преобразования, а координаты D * второй строкой этой матрицы. Таким образом, если координаты точек В * и D * известны, то общая матрица преобразования определена. Воспользуемся этим свойством для нахождения матрицы преобразования для вращения на произвольный угол.

Общую матрицу 2´2, которая осуществляет вращение фигуры относительно начала координат, можно получить из рассмотрения вращения единичного квадрата вокруг начала координат.

Рис. 3.2. Вращение единичного квадрата

Как следует из рис. 3.2, точка В с координатами (1,0) преобразуется в точку В ^*, для которой х ^*=(1)cos q и y =(1)sin q, а точка D, имеющая координаты (0,1) переходит в точку D ^* с координатами x ^*=(-1)sin q и y ^*=(1)cos q.

Матрица преобразования общего вида записывается так:

.

Для частных случаев. Поворот на 90° можно осуществить с помощью матрицы преобразования

.

Если использовать матрицу координат вершин, то получим, например:

.

Поворот на 180° получается с помощью матрицы .