Растровое представление отрезка. Алгоритм Брезенхейма

Рассмотрим задачу построения растрового изображения отрезка, соединяющего точки A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b). Для простоты будем считать, что

0 ≤ y_b – y_a ≤ x_b – x_a. Тогда отрезок описывается уравнением:

y = y_a + (x–x_a), x Є [ x_a, x_b ] или y = kx + b.

Отсюда получаем простейший алгоритм растрового представления отрезка:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double b = ya – k * xa;

for (int x = xa; x <= xb; x++)

putpixel(x, (int)(k * x + b), color);}

Вычислений значений функции y = kx + b можно избежать, используя в цикле рекуррентные соотношения, так как при изменении x на 1 значение y меняется на k:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double y = ya;

for (int x = xa; x <= xb; x++, y += k)

putpixel(x, (int)y, color);

}

Приведенные простейшие пошаговые алгоритмы построения отрезка имеют ряд недостатков:

1. Выполняют операции над числами с плавающей точкой, а желательно было бы работать с целочисленной арифметикой;

2. На каждом шаге выполняется операция округления, что также снижает быстродействие.

Эти недостатки устранены в следующем алгоритме Брезенхейма.

Как и в предыдущем случае, будем считать, что тангенс угла наклона отрезка принимает значение в диапазоне от 0 до 1. Рассмотрим i -й шаг алгоритма (рис. 2.3). На этом этапе пиксель P_{i- 1} уже найден как ближайший к реальному отрезку. Требуется определить, какой из пикселов (T_i или S_i) будет установлен следующим.

Рис. 2.3. i-й шаг алгоритма Брезенхейма

В алгоритме используется управляющая переменная d_i, которая на каждом шаге пропорциональна разности между S и T. Если S < T, то S_i ближе к отрезку, иначе выбирается T_i.

Пусть изображаемый отрезок проходит из точки (x ₁, y ₁) в точку (x ₂, y ₂). Исходя из начальных условий, точка (x ₁, y ₁) ближе к началу координат. Тогда перенесем оба конца отрезка с помощью преобразования T(­­­­­­– x ₁, –y ₁), так чтобы первый конец отрезка совпал с началом координат. Начальной точкой отрезка стала точка (0, 0), конечной точкой – (dx, dy), где dx = x ₂ – x ₁, dy = y ₂ – y ₁ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Вид отрезка после переноса в начало координат

Уравнение прямой в этом случае будет иметь вид:

y=x .

Обозначим координаты точки P_{i- 1}после переноса через (r, q). Тогда S_i = (r+ 1, q) и T_i = (r+ 1, q+ 1).

Из подобия треугольников на рис. 2.4 можно записать, что

= .

Выразим S:

S = (r + 1) – q.

T можно представить как T = 1 – S. Используем предыдущую формулу

T = 1 – S = 1 – (r + 1) – q.

Найдем разницу S – T:

S – T = (r + 1) – q – 1 + (r + 1) – q = 2 (r + 1) – 2 q – 1.

Помножим левую и правую часть на dx:

dx (S – T) = 2 dy (r + 1) – 2 q dx – dx = 2(r dy – q dx) + 2 dy – dx.

Величина dx положительная, поэтомунеравенство dx (S – T) < 0 можно использовать в качестве проверки при выборе S_i. Обозначим d_i = dx (S – T), тогда

d_i = 2(r dy – q dx) + 2 dy – dx.

Поскольку r = x_{i- 1} и q = y_{i- 1}, то

d_i = 2 x_{i- 1} dy – 2 y_{i- 1} dx + 2 dy – dx.

Прибавляя 1 к каждому индексу найдем d_{i+ 1:}

d_{i+ 1}= 2 x_i dy – 2 y_i dx + 2 dy – dx.

Вычитая d_i из d_{i+ 1}получим

d_{i+ 1} – d_i = 2 dy (x_i – x_{i- 1}) – 2 dx (y_i – y_{i- 1}).

Известно, что x_i – x_{i- 1} = 1, тогда

d_{i+ 1}– d_i = 2 dy – 2 dx (y_i – y_{i- 1}).

Отсюда выразим d_{i+ 1}:

d_{i+ 1} = d_i + 2 dy – 2 dx (y_i – y_{i- 1}).

Таким образом, получили итеративную формулу вычисления управляющего коэффициента d_{i+ 1} по предыдущему значению d_i. С помощью управляющего коэффициента выбирается следующий пиксель – S_i или T_i.

Если d_i ≥ 0, тогда выбирается T_i и y_i = y_{i– 1} + 1, d_{i+ 1} = d_i +2 (dy – dx). Если d_i < 0, тогда выбирается S_i и y_i = y_{i– 1} и d_{i+ 1} = d_i +2 dy.

Начальные значения d ₁ с учетом того, что (x ₀, y ₀) = (0, 0),

d ₁= 2 dy – dx.

Преимуществом алгоритма является то, что для работы алгоритма требуются минимальные арифметические возможности: сложение, вычитание и сдвиг влево для умножения на 2.

Реализация этого алгоритма выглядит следующим образом:

void MyLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)

{

int dx, dy, inc1, inc2, d, x, y, Xend;

dx = abs(x2 - x1);

dy = abs(y2 - y1);

d = dy << 1 - dx;

inc1 = dy << 1;

inc2 = (dy - dx) << 1;

if (x1>x2)

{

x = x2;

y = y2;

Xend = x1;

}

else

{

x = x1;

y = y1;

Xend = x2;

};

putpixel(x, y, c);

while (x < Xend)

{

x++;

if (d < 0) d = d + inc1;

else

{

y++;

d = d + inc2;

};

putpixel(x, y, c);

};

}

Если dy > d x, то необходимо будет использовать этот же алгоритм, но пошагово увеличивая y и на каждом шаге вычислять x.

2.1.2. Растровая развёртка окружности

Существует несколько очень простых, но не эффективных способов преобразования окружностей в растровую форму. Например, рассмотрим для простоты окружность с центром в начале координат. Ее уравнение записывается как x ² + y ² = R ². Решая это уравнение относительно y, получим

y = ± .

Чтобы изобразить четвертую часть окружности, будем изменять x с единичным шагом от 0 до R и на каждом шаге вычислять y. Вторым простым методом растровой развертки окружности является использование вычислений x и y по формулам x = R cos α, y = R sin α при пошаговом изменении угла α от 0° до 90°.

Для упрощения алгоритма растровой развёртки стандартной окружности можно воспользоваться её симметрией относительно координатных осей и прямых y = ± x; в случае, когда центр окружности не совпадает с началом координат, эти прямые необходимо сдвинуть параллельно так, чтобы они прошли через центр окружности. Тем самым достаточно построить растровое представление для 1/8 части окружности, а все оставшиеся точки получить симметрией (см. рис. 2.5).

Рис. 2.5. Восьмисторонняя симметрия

Рассмотрим участок окружности из второго октанта x Є [0, R / ]. Далее опишем алгоритм Брезенхейма для этого участка окружности.

На каждом шаге алгоритм выбирает точку P_i (x_i, y_i), которая является ближайшей к истинной окружности. Идея алгоритма заключается в выборе ближайшей точки при помощи управляющих переменных, значения которых можно вычислить в пошаговом режиме с использованием небольшого числа сложений, вычитаний и сдвигов.

Рассмотрим небольшой участок сетки пикселов, а также возможные способы (от A до E) прохождения истинной окружности через сетку (рис. 2.6).

Предположим, что точка P_{i- 1}была выбрана как ближайшая к окружности при x = x_{i- 1}. Теперь найдем, какая из точек (S_i или T_i) расположена ближе к окружности при x = x_{i- 1} + 1.

Рис. 2.6. Варианты прохождения окружности через растровую сетку

Заметим, что ошибка при выборе точки P_i (x_i, y_i) была равна

D(P_i) = (x_i ² + y_i ²) – R ².

Запишем выражение для ошибок, получаемых при выборе точки S_i или T_i:

D(S_i) = [(x_i-1+ 1)² + (y_i-1)²] – R²;

D(T_i) = [(x_i-1+ 1)² + (y_i-1 – 1)²] – R ².

Если | D(S_i) | ≥ | D(T_i) |, то T_i ближе к реальной окружности, иначе выбирается S_i.

Введем d_i = | D(S_i) | – | D(T_i) |.

T_i будет выбираться при d_i ≥ 0, в противном случае будет устанавливаться S_i.

Опуская алгебраические преобразования, запишем d_i и d_{i+ 1} для разных вариантов выбора точки S_i или T_i.

D ₁ = 3 – 2 R.

Если выбирается S_i (когда d_i < 0), то d_{i+ 1} = d_i + 4 x_i-1 + 6.

Если выбирается T_i (когда d_i ≥ 0), то d_{i+ 1} = d_i + 4 (x_{i- 1} – y_{i- 1}) + 10.

Существует модификация алгоритма Брезенхейма для эллипса.