Неопределённость измерений

В международной практике с целью сопоставления результатов измерений перешли к оценке их точности новым показателем – неопределённостью измерений [56, 38].

Появление критерия неопределённости измерений связано с практической нереализуемостью понятия погрешности измерения как разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины, т.к. истинное значение величины – это философская абсолютная истина, значение которой неизвестно. Вместо истинного значения принимают действительное значение с некоторой минимальной погрешностью, но опять же отсчитываемой от неизвестного истинного.

Неопределённость измерений характеризует рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Количественными выражениями неопределённости результата измерений являются:

- стандартная неопределённость (u) для прямых измерений, вычисленная как среднее квадратическое отклонение;

- суммарная стандартная неопределенность (u_c) для косвенных измерений, вычисленная квадратическим суммированием стандартных неопределенностей прямых измерений величин, функционально связанных с искомой, с учетом их коэффициентов влияния;

- расширенная неопределенность (U) – это ширина половины интервала вокруг результата измерений, в пределах которого находится большая часть распределения значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине с указанной доверительной вероятностью.

За результат измерения величины принимается среднее арифметическое исправленных, т.е. с введением поправок, многократных (m) измерений.

Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:

- по типу A – путем статистической обработки результатов многократных измерений;

- по типу B – с использованием других способов.

По типу A стандартную неопределенность находят как среднее квадратическое отклонение ряда исправленных наблюдений x_i многократных измерений:

- для единичных измерений i-й величины

^, (1.12)

где – математическое ожидание, или среднее арифметическое значение наблюдений i-й измеряемой величины:

; (1.13)

- для измерений, при которых каждый результат определяют как среднее арифметическое:

(1.14)

По типу B исходными данными для вычисления стандартной неопределенности являются:

- данные предшествующих измерений величин, входящих в уравнение измерения;

- сведения о виде распределения вероятностей;

- экспертные оценки, основанные на опыте исследователя;

- общие знания о поведении и свойствах соответствующих средств измерений;

- неопределенности констант и справочных данных;

- данные поверки и калибровки;

- сведения изготовителя о приборе и др.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонений значений величин от их оценок.

Особенностью стандартной неопределенности типа B является постулирование равномерного закона в качестве основного для распределения возможных значений измеряемой величины между нижней (b_i-) и верхней (b_i+) границами (рис. 1.4 а):

, (1.15)

а для симметричных границ (±b_i) (рис. 1.4 б):

. (1.16)

а) несимметричное распределение; б) симметричное распределение.

Рис. 1.4 Равномерный закон распределения возможных значений измеряемой величины

Суммарная неопределенность результата измерений величины рассчитывается по формуле

, (1.17)

где y – определяемая величина, устанавливаемая расчетом по результатам измерения других величин (x_i), связанных с ней функциональной зависимостью (функционалом):

y = f(x₁, x₂,.. x_m); (1.18)

u(x_i) – стандартные неопределенности измеряемых величин x₁, x₂,.. x_m;

∂f/∂x_i – частные производные функционала по измеряемым величинам, или коэффициенты их влияния на определяемую величину.

Расширенная неопределенность больше стандартной или суммарной неопределенности в k раз:

U = k·u; (1.19)

U = k·u_c, (1.20)

где k – коэффициент охвата:

k = t_p(v_f), (1.21)

равный квантилю распределения Стьюдента t_p(v) с эффективным числом степеней свободы v_f и доверительной вероятностью p (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Значение квантилей t_p(v) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с v степенями свободы

v	p = 0,95	p = 0,99	v	p = 0,95	p = 0,99
	3,182	5,841		2,120	2,921
	2,776	4,604		2,101	2,878
	2,571	4,032		2,086	2,845
	2,447	3,707		2,074	2,819
	2,365	3,499		2,064	2,797
	2,306	3,355		2,056	2,779
	2,262	3,250		2,048	2,763
	2,228	3,169		2,042	2,750
	2,179	3,055	∞	1,960	2,576
	2,145	2,977

Эффективное число степеней свободы определяют по формуле

, (1.22)

где v_i – число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины по n_i наблюдениям:

v_i = n_i – 1 – для вычисления неопределенности по типу A;

v_i = ∞ – для вычисления неопределенности по типу B.

На практике для равномерного закона распределения полагают

k =1,65 при p = 0,95 и k =1,71 при p = 0,99;

для закона нормального распределения

k =2 при p = 0,95 и k =3 при p = 0,99.

Сравнивая расчеты неопределенности с расчетами погрешностей измерения [37], легко убедиться в большей ясности, простоте и меньшей трудоемкости расчетов неопределенности.

Однако настораживает то обстоятельство, что неопределенность не учитывает переменность измеряемых величин в пределах одного объекта измерения и, следовательно, необходимость измерения двух граничных значений величины, как это имеет место при измерениях геометрических величин.

По-существу расчеты неопределенности сводятся к нахождению среднего квадратического отклонения. Задаваясь доверительной вероятностью p (0,99; 0,95; 0,90 или меньше), законом распределения, переходим к расширенной неопределенности U и определяем границы интервала, в пределах которого любое значение может быть обоснованно приписано измеряемой величине.

Вычисление стандартной неопределенности по типу B более достоверно, т.к. опирается не только на статистику, но и на дополнительные источники информации.

При проведении совместных работ с зарубежными странами в области стандартизации, метрологии, производства продукции, при подготовке публикаций в зарубежной печати, при выступлениях с докладами на международных научных конференциях, в исследованиях физических констант необходимо приводить данные о неопределенности величин.