Задача 3.2

Имеются данные о затратах времени на изготовление деталей в 200 отраслях:

Таблица 3.3

Время, затраченное на изготовление 1 детали, мин.	Число деталей, штук	Сумма накопленных частот, Si
1	2	3
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
Итого

По приведенным данным вычислите:

1. среднее значение варьирующего признака;

2. показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации и осцилляции;

3. моду и медиану.

Решение. задачи данного типа рекомендуется решать в табличной форме (табл. 3.4). За значение признака (х_i) принимаются середины интервалов.

Таблица 3.4

xi	fi	xifi
1	2	3	4	5	6
		9 · 14 = 126	|9 - 14,1| = 5,1	5,1 · 14 = 71,4	5,12 · 14 = 364,14
		11 · 26 = 286	|11 - 14,1| = 3,1	3,1 · 26 = 80,6	3,12 · 26 = 249,86
			1,1	82,5	90,75
			0,9	36,0	32,40
			2,9	58,0	168,20
			4,9	73,5	360,15
			6,9	69,0	476,10
Итого			24,9	471,0	1741,60

1. Определим среднее значение признака по средней арифметической взвешенной (формула (3.2):

2. Размах вариации рассчитываем как разницу между серединами первого и последнего интервалов (формула (3.16):

R = 21 - 9 = 12 мин.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле (3.18):

Среднее квадратичное отклонение определим по формуле (3.20):

Дисперсия в данном примере определяется по формуле (3.22). данные для расчета содержатся в графах 2 и 6 табл. 3.4.

коэффициент вариации определяем, подставляя данные в формулу (3.30):

Коэффициент осцилляции (формула (3.28) в нашем примере равен:

3. Чтобы определить моду и медиану в данном интервальном ряде распределения, воспользуемся формулами (3.10) и (3.11).

Вначале определяют модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. В данном примере модальным является интервал 12-14 минут, т.к. его частота составляет 75 единиц. Тогда нижняя граница модального интервала (х_мо) составит 12, величина модального интервала (i_мо) = 2, частота модального интервала (f_мо) = 75, частота интервала, предшествующего модальному (f_(мо-1)) = 26, частота интервала, следующего за модальным (f_(мо+1)) = 40. Следовательно, мода равна:

Для определения медианы в интервальном ряде распределения воспользуемся формулой (3.11):

(3.11)

Найдем медианный интервал. У медианного интервала сумма накопленных частот должна быть равна половине суммы всех частот ряда или превышать эту величину. В нашем примере сумма всех частот равна 200 единицам, полусумма - 100 единиц (200: 2). В гр. 3 табл. 2.3 рассчитываются суммы накопленных частот последовательным сложением частот каждой группы. Для первой группы сумма накопленных частот - 14 единиц, для второй - 40 (14+26), для третьей - 115 (14 + 26 + 75) и т.д.

В третьей группе сумма накопленных частот превысит полусумму всех частот ряда (115 > 100), следовательно, третья группа является медианной, а медианный интервал - 12-14 мин. тогда медиана равна:

Вывод. из приведенных расчетов видно, что среднее время на изготовление 1 детали составит 14,1 мин., при этом половина рабочих затратит на изготовление 1 детали в среднем не более 13,6 мин. (М_е = 13,6), а самая многочисленная группа затратит на изготовление 1 детали в среднем 13,2 мин.

Индивидуальное время на изготовление 1 детали отклоняется от среднего времени в среднем на 2,9 мин. (σ = 2,95), что составляет 20,9% (V = 20,9). Средняя типична для совокупности, т.к. коэффициент вариации не превышает 30%.

Так как М_о < М_е < , в нашем примере наблюдается правосторонняя асимметрия.

Расчет коэффициента асимметрии по формуле (3.14) подтверждает этот вывод, т.к. имеет положительное значение.