Задания Тематика для контрольной работы. Примеры и решения

Контрольная работа содержит 8 задач по темам:

Задача 1 – по теме «Группировка статистических данных».

Задача 2 – по теме «Статистические величины».

Задача 3 – по теме «Изучение взаимосвязей».

Задача 4 – по теме «Ряды динамики».

Задача 5 – по теме «Индексы».

Задача 6 – по теме «Статистика основных фондов».

Задача 7 – по теме «Статистика населения».

Задача 8 – по теме «Статистика уровня жизни».

Тема 1: «Группировка статистических данных»

Пример 1.1. Построить группировку по следующим данным о возрасте 50 домашних животных: 0, 1, 5, 1, 2, 0, 6, 2, 3, 0, 2, 4, 1, 4, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 0, 10, 1, 2, 4, 6, 7, 6, 2, 4, 8, 5, 4, 6, 1, 0, 1, 10, 1, 4, 5, 1, 3, 4, 7, 5, 6, 8, 1, 9. Построить полигон распределения. Определить тип признака, вид группировки.

Решение. Признак х – возраст домашних животных (полных лет) – дискретный количественный признак. При группировании подсчитывается частота (f) каждого значения признака, группировка оформляется в таблицу (табл. 1). Вид группировки – структурная.

Таблица 1

Группировка домашних животных по возрасту (х, лет)

х
f

Полигон распределения признака строится на плоскости в системе координат (х, f), х – ось абсцисс, f – ось ординат (рис.1).

Рис. 1. Полигон распределения.

Пример 1.2. Стаж работы (в годах) 40 рабочих бригады характе­ризуется следующими данными: 2, 15, 4, 5, 5, 6, 6, 5, 17, 17, 6, 6, 7, 14, 16, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 3, 17, 4, 11, 11, 4, 5, 8, 12, 5, 6, 4, 4, 5, 7, 15, 18. Построить ранжированный ряд, интервальный ряд (образовать 4-е группы с равными интервалами), гистограмму. Определить тип признака, вид группировки.

Решение. Ранжированный ряд записывается в виде:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 17, 17, 17, 18 (т. е. исходные данные упорядочиваются).

Признак х – стаж работы (лет). Вид группировки – структурная. Так как требуется построить интервальный ряд и гистограмму, то признак х считается непрерывным количественным признаком.

Для того чтобы построить группировку с 4-мя равными интервалами, необходимо определить шаг интервала (h) по формуле:

,

где х _max, x _min – максимальное и минимальное значения признака х; n – число групп. В нашем случае n = 4, х _max = 18, x _min = 2. Тогда

.

Результат группировки см. в табл. 2, на рис. 2 приведена гистограмма распределения признака х (горизонтальная ось – х, вертикальная ось – частота группировки f).

Таблица 2

x	fy

Рис. 2. Гистограмма распределения.

Тема 2: «Статистические величины»

Пример 2.1. По данным о распределении сотрудников коммерческой фирмы по уровню заработанной платы (табл.3) определить моду, медиану, среднюю заработную плату. Найти среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение от средней заработной платы, соотношение между ними. Найти дисперсию, коэффициент вариации. Сделать выводы.

Таблица 3

Размер з./платы, тыс. руб. в мес.	Количество сотрудников, чел.
До 3
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
13 и более
Итого:

Решение. Признак х – размер заработной платы, f – количество работников (частота группировки). Найдем средний размер заработнойплаты по формуле средней арифметической взвешенной (так как данные сгруппированы):

(тыс. руб.)

Так как исходные данные представлены в виде интервального вариационного ряда, то для нахождения моды (модального значения признака х) сначала нужно определить модальный интервал. В данной задаче , т. к. этому интервалу соответствует наибольшая частота f = 49. Более точное значение моды внутри интервала находим по формуле:

, где h – ширина интервала;

(тыс. руб.).

Аналогично, для нахождения медианы сначала определим медианный интервал: , т. к. в него попадает порядковый номер медианного значения признака, равный (определяемый с помощью накопленных частот S _i). Затем находим медиану:

; (тыс. руб.)

Среднее линейное отклонение признака х найдем по формуле:

;

(тыс. руб.).

Дисперсия: ;

(тыс. руб.).

Среднее квадратическое отклонение:

; (тыс. руб.).

Соотношение между средним линейным и средним квадратическим отклонениями:

.

Полученное число близко к числу 1.2, что говорит о близости к нормальному закону распределения.

Коэффициент вариации:

; .

Так как v > 30 %, то данная статистическая совокупность сотрудников фирмы считается неоднородной по признаку х.

Тема 3: «Изучение взаимосвязей»

Пример 3.1. В таблице 4 приведены данные по 12 автотранспортным предприятиям.

Таблица 4

№ пр-я	Грузооборот, млн. ткм	Общие затраты, т. руб.	№ пр-я	Грузооборот, млн. ткм	Общие затраты, т. руб.
1	12,0		7	11,2
2	7,2		8	20,0
3	7,6		9	7,2
4	8,8		10	16,8
5	11,2		11	14,0
6	6,8		12	7,2

По приведенным данным определить тесноту и форму связи между признаками х (грузооборот) и у (себестоимость перевозок), построить уравнение регрессии. Оценить полученное уравнение с помощью показателей: коэффициент детерминации, коэффициент корреляции, критерий Фишера (критическое значение F_a(1; 8) = 11,26 при a = 0,01).

Решение. –- уравнение регрессии

Для нахождения a и b необходимо решить следующую систему уравнений:

или

либо воспользоваться следующими формулами:

, .

Решая эту систему, найдем: , , откуда .

Найдем коэффициенты детерминации и корреляции r и детерминации r ² :

;

связь прямая и сильная..

изменение себестоимости перевозки (у)объясняется изменением грузооборота (х) на 90,8 %.

;

; .

уравнение статистически значимо.

Все расчеты приведены в таблице 5.

Таблица 5

№	х	у	х2	ху
					1,17	-0,66	-0,7722	1,3689	0,4356
	7,2		51,84	2649,6	-3,63	-172,66	626,7558	13,1769	29811,48
	7,6		57,76		-3,23	-80,66	260,5318	10,4329	6506,036
	8,8		77,44	4188,8	-2,03	-64,66	131,2598	4,1209	4180,916
	11,2		125,44	6092,8	0,37	3,34	1,2358	0,1369	11,1556
	6,8		46,24	2692,8	-4,03	-144,66	582,9798	16,2409	20926,52
	11,2		125,44	5555,2	0,37	-44,66	-16,5242	0,1369	1994,516
					9,17	299,34	2744,9478	84,0889	89604,44
	7,2		51,84	2419,2	-3,63	-204,66	742,9158	13,1769	41885,72
	16,8		282,24	14380,8	5,97	315,34	1882,5798	35,6409	99439,32
					3,17	215,34	682,6278	10,0489	46371,32
	7,2		51,84		-3,63	-120,66	437,9958	13,1769	14558,84
S			1610,08	78363,2			8076,5336	201,7468	355290,7

Пример 3.2. По 10 однородным магазинам имеются следующие данные (табл. 6). Определить уравнение регрессии между товарооборотом (признак х) и товарными запасами (признак у). Связь гиперболическая.

Таблица 6

Товарооборот, тыс. руб.
Товарные запасы, дни

Решение. Так как связь между товарооборотом и товарными запасами гиперболическая, то уравнение регрессии имеет вид:

.

Сделаем следующую замену переменных: . Тогда

, .

Таблица 7

Расчетная таблица

№	х	у	t
			0,2	0,13	8,9	1,157	0,0169
			0,333333	0,263333	2,9	0,763667	0,069344444
			0,041667	-0,02833	-1,1	0,031167	0,000802778
			0,028571	-0,04143	-1,1	0,045571	0,001716327
			0,022727	-0,04727	-1,1	0,052	0,002234711
			0,018182	-0,05182	-1,1	0,057	0,002685124
			0,015873	-0,05413	-2,1	0,113667	0,00292973
			0,013514	-0,05649	-3,1	0,175108	0,003190723
			0,012195	-0,0578	-1,1	0,063585	0,003341404
			0,010526	-0,05947	-1,1	0,065421	0,003537119
S			0,696588			2,524186	0,10668236

По данным таблицы 7 находим:

, .

Таким образом, искомое уравнение связи имеет вид:

.

Пример 3.3. Имеются данные по 10 работникам предприятия (табл.8). Построить множественную линейную модель зависимости размера заработной платы от разряда и производственного стажа работника, оценить степень влияния факторов на результативный признак (с помощью коэффициентов эластичности), найти коэффициенты детерминации и корреляции, проверить значимость модели по критерию Фишера (). Дать прогноз заработной платы работника с 6 разрядом и производственным стажем 20 лет.

Таблица 8

№	Разряд, (признак х1)	Стаж работы, лет (признак х2)	З/плата, руб. (признак y)

Решение. Необходимо построить уравнение регрессии вида . Для нахождения неизвестных коэффициентов a, b₁ и b₂ на основе исходных данных применяется МНК (метод наименьших квадратов), согласно которому необходимо составить и решить следующую систему нормальных уравнений:

или .

Решая эту систему, найдем: a = 6840.236, b₁ = 182.242, b₂ = 99.496.

Тогда уравнение принимает вид:

.

Найдем коэффициенты эластичности:

; ; .

Значения коэффициентов показывают, что большее влияние на результативный признак у оказывает фактор х₁.

Найдем коэффициенты детерминации (R²) и корреляции (R).

.

Чтобы воспользоваться данной формулой, необходимо найти теоретические значения :

,

,

…

.

Тогда

,

т. е. изменение заработной платы объясняется изменением разряда и стажа на 90,8 %.

Коэффициент корреляции:

; связь прямая и сильная.

Проверка значимости уравнения регрессии по критерию Фишера:

; ;

; .

Так как , то полученное уравнение статистически значимо и им можно пользоваться для прогнозирования и моделирования.

Чтобы определить, сколько будет получать работник с 6 разрядом и стажем 20 лет, необходимо подставить эти данные в полученное уравнение регрессии:

(руб.).

Тема 4: «Ряды динамики»

Пример 4.1. Имеется ряд динамики (табл. 9). Определить тип тенденции (по графику), вычислить уравнение тренда. Сделать прогноз на следующий период. Построить графики.

Таблица 9

t
yt	54,1	35,4	56,6	46,6	46,7	52,1	56,6	44,8	68,3	36,3		57,2

Решение. На рис. 3 видно, что имеющаяся в данных тенденция может быть описана линейной функцией вида (уравнение тренда). Для определения коэффициентов тренда a и b также используется МНК (см. пример 3.1). Упрощая систему нормальных уравнений с помощью замены переменных , получаем:

.

Вспомогательные расчеты поместим в таблицу (табл. 10). Получаем:

; .

Таблица 10

t	t0	у	t0 y	t02		t	t0	у	t0 y	t02
	-6	54,1	-324,6					44,8	44,8
	-5	35,4	-177					68,3	136,6
	-4	56,6	-226,4					36,3	108,9
	-3	46,6	-139,8
	-2	46,7	-93,4					57,2
	-1	52,1	-52,1
		56,6				Сумма		698,7

Прогноз на следующий период t = 14 (t₀ = 7):

.

На рис. 3 изображены исходные данные y_t (ломаная линия) и выравненные данные (прямая линия тренда).

Рис. 3. Линейное выравнивание ряда динамики.

Тема 5: «Индексы»

Пример 5.1. По данным о продаже товаров, приведенным в табл. 11, определить:

1) индивидуальные индексы объемов продаж, цен и товарооборота;

2) агрегатный индекс физического объема;

3) агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса;

4) общий индекс товарооборота;

5) абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объемов продаж, за счет изменения цен и за счет совместного действия обоих факторов.

Таблица 11

Товары	Ед. измер.	Количество, ед.	Цена, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А	кг
Б	л

Показать взаимосвязь между общими индексами и между абсолютными изменениями товарооборота.