Моменты функции распределения случайных величин

Распределение случайной величины характеризуется некоторыми численными параметрами: так называемыми моментами, являющимися мерами положения, рассеивания, остро или плоско вершинности и асимметрии.

К характеристикам мер положения относятся математическое ожидание, среднее арифметическое, мода, медиана. К характеристикам мер рассеивания относятся дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО). Остро- или плосковершинность может характеризоваться эксцессом, а параметры асимметрии – коэффициентом асимметрии.

Моментом ряда распределения M_k (или просто моментом) случайной дискретной величины относительно начального значения х = а называется сумма произведений отклонений значений х_i относительно а в степени k на соответствующую частоту P_x:

M_k = (5.1).

Моментом ряда распределения M_k (или просто моментом) случайной непрерывной величины относительно начального значения х = а называется интеграл от минус бесконечности (- ∞) до плюс бесконечности (∞) произведений отклонений значений х_i относительно а в степени k на соответствующую частоту P_x:

M_k = (5.2).

Давая показателю k значения 0, 1, 2, 3 и т.д., получают моменты нулевого, первого, второго и т.д. порядков относительно начала а.

Различают начальные и центральные моменты k -го порядка.

Если а = 0, то момент называется начальным.

Если а = , то момент называется центральным.

В литературе часто начальные моменты обозначаются буквой ν с соответствующими индексами, а центральные моменты – μ также с индексами.

В теории измерений и метрологической практике обычно используются первый начальный ν₁, второй μ₂, третий μ₃ и четвертый μ₄ центральные моменты.

Начальный момент порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х ^k:

ν _k = М(Х ^k), ν ₁ = М(Х), ν₂ = М(Х²), ν₃ = М(Х³), ν₄ = М(Х⁴).

Центральные моменты можно выразить через начальные следующим образом:

µ₀= 1,

µ₁ =0,

µ₂ = ν₂- ν ₁²,

µ₃ = ν₃ – 3ν₂ ν ₁ + 2 ν₁³,

µ₄ = ν₄ – 4ν₃ ν ₁ + 6 ν₂ ν ₁² -3 ν₁⁴.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины [Х-М(Х)^k]:

µ_k = M[(Х-М(Х))^k], µ₁ = M[(Х-М(Х))¹]=0, µ₂ = M[(Х-М(Х))²] (5.3).

Второй центральный момент, µ₂ = M[(Х-М(Х))²] называется дисперсией и обозначается D(X). Таким образом дисперсия – это математическое ожидание величины [Х-М(Х) ²].