Средняя арифметическая и ее свойства

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая. Если вариант (индивидуальное значение признака) встречается один раз, т. е. осреднение производится по не сгруппированным данным, или одинаковое число раз (все веса равны между собой), то для расчета используется формула простой средней арифметической

.

Она равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их число. Например, имеем данные о заработной плате шести рабочих бригады в месяц: 3,0; 3,2; 3,3; 3,5; 3,6; 3,8 тыс. руб. Для получения средней заработной платы необходимо общий заработок рабочих разделить на их число, т.е.:

тыс. чел.

В случае, когда варианты исследуемой совокупности встре­чаются неодинаковое число раз (имеем разные частоты ), средняя вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной.

Пример. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц. Данные представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Заработная плата одного рабочего (тыс. руб.),	Число рабочих,
3,2
3,3
3,4
4,0
Итого

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

тыс. руб.

При расчете арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как по­лусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значения нижнего или верхнего интер­вала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Например, требуется определить средний возраст студентов вечернего отделения по данным, представленным в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Возраст в годах, х	Число студентов,	Середина интервала,
До 20
20 - 22
22 - 26
26 - 30
30 и более
Итого		-

года.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов, являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному распределению.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частоты):

.

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

.

2. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических каждой из этих величин:

.

3. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значе­ний признака от средней равна нулю:

.

4. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной ве­личины а:

.

5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя величина уменьшится или увеличится на это же число а:

.

6. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в A раз, то средняя величина также уменьшится или увеличится в A раз:

.

7. Если все частоты (веса) увеличить или уменьшить в d раз, то средняя арифметическая не изменится:

.