Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим однородную задачу ЛП из примера №1 п. 1.5.:
(1)
Добавив к левым частям системы неравенств соответствующие балансовые переменные преобразуем задачу (1) в каноническую форму:
(2)
Для удобства и единообразия запишем определение целевой функции в виде уравнения:
(3)
Запишем (2) и (3) в виде первой симплекс таблицы:
- 2 | (4) | ||||||
- 1 | |||||||
- 4 | - 3 | - 1 |
Первые три строки таблицы (4) содержат по сути расширенную матрицу системы линейных уравнений (2), к которой слева приписан столбец переменной . Последняя строка, называемая индексной, содержит уравнение (3). Буквой , как обычно, обозначен столбец свободных членов. Отметим, что таким образом составленная таблица (4) называется симплексной, поскольку задача (2) имеет симплексную форму. Напомним, что это означает, что во-первых, матрица системы (и таблица (4)) содержат т базисных столбцов (столбцы ), где т - число уравнений (в данном случае ); во-вторых, все элементы столбца свободных членов неотрицательны (это числа 8, 9 и 10), кроме, возможно, элемента индексной строки; в- третьих, целевая функция зависит только от свободных переменных ( и ). Последнее верно, поскольку в базисных столбцах () в индексной строке находятся только нули. Первая симплекс-таблица (4) определяет первое опорное решение. Напомним, что опорное решение является допустимым базисным решением, и, следовательно, свободные переменные и равны нулю: и .
Далее, переменная определяется первой строкой таблицы (4), которая является сокращённой записью первого уравнения системы (2). При оно принимает вид:
Вторая строка таблицы определяет переменную
Третья строка определяет :
Значение целевой функции определяем по индексной строке:
В дальнейшем мы покажем, что оптимальное решение канонической задачи ЛП является опорным, и, следовательно, его следует искать среди опорных решений. Симплекс-таблица (4) и дает одно из таких решений. Как проверить, является ли оно оптимальным? Оказывается, просто. Как мы увидим далее, если коэффициенты целевой функции канонической задачи ЛП неположительные: ,- и функция зависит только от свободных переменных, то соответствующее опорное решение является оптимальным.
Но условие означает, что коэффициенты индексной строки, стоящие в столбцах свободных переменных, должны быть неотрицательны: поскольку индексная строка соответствует уравнению: , - и содержит коэффициенты с противоположным знаком.
Мы видим, что в таблице (4) условие неотрицательности всех элементов индексной строки (разумеется, кроме правой части , стоящей в столбце свободных членов) не выполнено. Более того, оба столбца свободных переменных и содержат в индексной строке отрицательные элементы: - 4 и -3, - соответственно.
Выберем любой из этих столбцов, например, первый и назовем его ведущим. Определим для каждого так называемое допустимое отношение следующим образом. Если в - ой строке ведущего столбца стоит неположительный элемент, то положим если же этот элемент то положим
,
где - номер ведущего столбца.
В нашем случае и допустимые отношения соответственно равны:
Добавим к симплекс-таблице (4) столбец :
- 2 | (5) | |||||||
- 1 | ||||||||
- 4 | - 3 | - 1 |
В таблице (5) отрицательный элемент – 4 ведущего столбца взят в рамочку, для того чтобы выделить ведущий столбец. Можно, разумеется, выделить этот столбец и любым другим разумным образом: цветом, шрифтом и т.п.
Среди всех допустимых отношений найдем наименьшее: .
Наименьшее допустимое отношение соответствует третьей строке таблицы, которую мы теперь объявляем ведущей строкой. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца стоит ключевой элемент таблицы. В нашем случае это Выделим в таблице (5) минимальное допустимое отношение и ключевой элемент, рамочкой:
- 2 | (6) | |||||||
- 1 | 5 = | |||||||
- 4 | - 3 | - 1 |
Дальнейшая наша цель состоит в том, чтобы преобразовать методом Гаусса таблицу (6) в новую симплекс-таблицу, первый столбец который стал бы базисным, содержащим число 1 в ведущей (третьей) строке.
Вначале разделим ведущую строку на ключевой элемент:
- 2 | (7) | ||||||||
- 4 | - 3 | - 1 | |||||||
В таблице (7) мы не заполняем столбец , поскольку он нужен, только для того, чтобы определить ведущую строку, что мы уже сделали. Мы выделили только ключевой элемент, так как он определяет одновременно и ведущую строку (третью) и ведущий столбец (первый).
Проделаем теперь следующие преобразования Гаусса:
1) вычтем из первой строки ведущую (третью) строку;
2) прибавим ко второй строке ведущую, умноженную на 2;
3) прибавим к индексной строке ведущую, умноженную на 4.
В итоге получим новую таблицу:
(8) | |||||||||
- 5 | |||||||||
Нетрудно видеть, что мы получили симплекс-таблицу. Действительно, в таблице (8) после перестановки столбца со столбцом в последних трех столбцах получается единичная матрица; столбец свободных членов неотрицателен; целевая функция зависит только от свободных переменных и
Отметим, что столбец , став базисным, вытеснил «из базиса» столбец . В силу этого обстоятельства проделанный процесс называют операцией однократного замещения. В данном случае эта операция состояла из последовательности элементарных преобразований Гаусса 1), 2) и 3).
Таким образом, получена вторая симплекс-таблица (8), которой соответствует второе опорное решение. Переменные и - свободные и, следовательно, и . Поскольку первое уравнение имеет вид.
то значение базисной переменной равно 3: . Базисная переменная определяется вторым уравнением:
а базисная переменная определяется третьим уравнением (так как в столбце единица стоит в третьей строке):
Итак, , - второе опорное решение. Новое значение целевой функции определяется индексной строкой:
Это опорное решение также не является оптимальным, что следует из того, что в индексной строке таблицы (8) имеется отрицательный элемент (-5) во втором столбце, который мы выберем теперь в качестве ведущего столбца. Затем найдем ведущую строку с минимальным допустимым отношением и ключевой элемент:
2 | ||||||||
9,5 | (9) | |||||||
- 5 |
Разделим ведущую строку (первую) на ключевой элемент :
(10) | ||||||||
- 5 | ||||||||
Выполним теперь следующие преобразования Гаусса:
1) вычтем из второй строки первую, умноженную на 2;
2) прибавим к третьей строке первую, умноженную на ;
3) прибавим к индексной строке первую, умноженную на 5. В результате получим третью симплекс-таблицу:
(11) | ||||||||
Ей соответствует третье опорное решение:
- и значение целевой функции .
Поскольку индексная строка таблицы (11) не содержит отрицательных элементов, полученное опорное решение будет оптимальным: и (12) При этом Здесь мы звездочками помечаем оптимальные значения переменных.
Таким образом, задача (2) и с ней задача (1) решены.
1.8.2. Алгоритм симплекс-метода.
Изложим теперь этот метод решения в общем виде.
Пусть дана симплексная форма задачи ЛП, то есть каноническая задача ЛП, матрица системы которой имеет разрешенный вид, свободные члены неотрицательны и целевая функция зависит только от свободных переменных:
(1)
Здесь мы считаем свободными переменные . Запишем функцию в виде уравнения:
, (2)
Уравнениям (1) и (2) соответствует первая симплекс-таблица:
….. | ….. | ||||||||
….. | ….. | ||||||||
….. | ….. | (3) | |||||||
….. | ….. | ….. | ….. | ….. | ….. | ….. | ….. | ….. | |
….. | ….. | ||||||||
….. | ….. |
Начало алгоритма симплекс-метода.
Шаг 1. По симплекс-таблице находим опорное решение. На первом шаге это будет:
и (4)
Шаг 2. Проверяем условие оптимальности полученного опорного решения. Если последняя (индексная) строка таблицы (3) не содержит отрицательных элементов, то есть, все коэффициенты целевой функции неположительные: то опорное решение является оптимальным. Решение задачи заканчивается, и мы переходим к шагу 9.
Если условие оптимальности: , не выполнено, то продолжаем решение задачи.
Шаг 3. Выбираем номер одного из столбцов, содержащих отрицательные элементы в индексной строке. Соответствующий столбец объявляем ведущим.
Шаг 4. Определяем минимальное допустимое отношение для каждой строки по правилу:
где - номер ведущего столбца.
Шаг 5. Выбираем номер ведущей строки с минимальным допустимым отношением .
Соответствующую строку называем ведущей. Если такой выбор невозможен, то есть все , то заканчиваем решение, поскольку в этом случае задача не имеет решения. Переходим к шагу 10.
Шаг 6. Делим ведущую строку на ключевой элемент , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца. В результате на месте ключевого элемента получаем единицу: .
Шаг 7. Из каждой строки таблицы, кроме ведущей, вычитаем ведущую строку, умноженную на элемент текущей строки, стоящий в ведущем столбце. В результате получаем, что все элементы ведущего столбца, кроме ключевого, равного единице, равны нулю, то есть ведущий столбец превратился в базисный. При этом оказывается, что один из базисных столбцов превратился в свободный (именно, тот, который содержал 1 в ведущей строке). Нами получена новая симплекс-таблица, отличающаяся от прежней набором базисных столбцов.
Шаг 8. Переходим к шагу 1.
Шаг 9. Объявляем, что получено оптимальное решение и выводим результаты решения. Затем переходим на конец алгоритма.
Шаг 10. Сообщаем, что задача не имеет решения и переходим на конец алгоритма.
Конец алгоритма.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1216 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!