Построить по обобщённой модели поверхность отклика в прямоугольных координатах координатах Y, x1,x2

Задача КЛАССИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

1.ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить методику планирования, обработки результатов классического однофакторного эксперимента и построения на его основе обобщённых моделей.

2.ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Классическим называют наиболее старый метод планирования и реализации экспериментов. Он предусматривает фиксирование на определённых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, который принимает некоторые дискретные значения (уровни) в исследуемой части области своего существования. В результате находим зависимость исследуемой величины (параметра выхода) только от одного фактора. Математическая модель этой зависимости может быть получена в результате ряда геометрических построений или, чаще всего и с гораздо меньшей погрешностью, методом наименьших квадратов.

Поскольку этот метод не определяет структуру получаемой однофакторной модели и требует наличия перенасыщенной системы уравнений (число уравнений превышает число неизвестных) для вычисления параметров, на количество уровней переменного фактора налагаются определённые ограничения.

Если выход изменяется по закону, близкому к линейному, то для нахождения параметров линейной модели достаточно трёх точек на линии отклика. То есть достаточно варьировать переменный фактор на трёх дискретных уровнях. Однако вид линии отклика экспериментатору зачастую неизвестен. В этом случае естественное стремление сократить объём экспериментов вступает в противоречие с последующей возможностью функциональной или графической интерпретации их результатов. Последние могут подчиняться более сложному закону, (например, квадратичному) с большим числом параметров. Это обстоятельство заставляет планировать однофакторный эксперимент как минимум на четырёх уровнях переменного фактора. А при имеющейся опасности срыва одного из опытов необходимо предусмотреть пятую резервную точку.

Следует отметить, что если нелинейную экспериментальную зависимость линеаризовать логарифмированием (отложив на графике в логарифмическом масштабе), то можно для аппроксимации экспериментальных результатов использовать степенную или показательную функции.

3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1 Ознакомиться с содержанием методического пособия и выбрать индивидуальное задание (Табл.3).

Пример: Таблица 1.Исходные данные

Параметры	Величина
Переменные факторы	х1
х2
Выход	у

3.2 Выбрать структуру моделей

Критерием выбора той или иной модели является погрешность аппроксимации.

Пример: Для аппроксимации экспериментальных зависимостей

выбираем показательную Т = а₁∙(в₁)^σ и степенную Т = а₂∙(V)^в2 функции.

3.3 Линеаризовать выбранные функции логарифмированием

Пример: После логарифмирования получим lgТ = lga₁ + σlgв₁ и

lgТ = lga₂ + в₂lgV, что эквивалентно линейной зависимости

Y = A + BX

3.4 Получить исходные данные для расчёта параметров моделей метода наименьших квадратов (МНК)

Пример: Таблица 2. Данные для МНК T = f(σ)

№ п/п	σ	lgT	σ2	σ(lgT)
	σmin
…	…	…	…	…
N	∑σ	∑lgT	∑σ2	∑σ(lgT)

Таблицу 2. повторить для второй частной модели.

: Таблица 3. Данные для МНК T = f(V)

№ п/п	lgV	lgT	(lgV)2	(lgV)(lgT)
	σmin
…	…	…	…	…
N	∑ lgV	∑lgT	∑(lgV)2	∑(lgV)(lgT)

3.5 Получить систему уравнений

Пример:

Для модели T = а₁∙(в₁)^σ имеем (1) Nlga₁ + lgв₁∑σ = ∑(lgT)

lga₁∑σ + lgв₁∑σ² = ∑σ(lgT)

Для модели T = а₂∙(V)^в2 получим аналогично.

(2) Nlga₂ + в₂∑lgV = ∑(lgT)

lga₂∑lgV + в₂∑(lgV)² = ∑(lgT)(lgV)

3.6 Решить систему уравнений и найти величины коэффициентов регрессии

Пример:

Для первой модели получим (3)

lg a₁ = ; lg в₁ = .

Потенцируя найдём параметры модели «а₁» и «в₁». Параметры второй модели найдём аналогично.

lg a₂ = ; (4)

в₂ = .

3.7 Определить среднюю дисперсию всех опытов – дисперсию воспроизводимости

Мерой оценки рассеяния параметра выхода является дисперсия воспроизводимости – средняя дисперсия всех опытов.

, (5)

где u – количество параллельных опытов (1…n=3);

i – количество уровней переменного фактора (точек на кривой отклика) (1…N=4);

– среднее значение выхода из серии параллельных опытов. Вариации параллельных опытов составляют ± (10 – 15)% и рассчитываются самостоятельно.

3.8 Определить дисперсию коэффициентов регрессии

В однофакторных экспериментах дисперсия коэффициентов модели, полученных методом наименьших квадратов, равна

. (6)

3.9 Оценить значимость коэффициентов модели.

Коэффициенты моделей статистически значимы при соблюдении условия

, (7)

где t_p и t_T -расчётный и табличный коэффициенты распределения Стьюдента (Табл. П1 приложения) с достоверностью 95% и степенями свободы f = N(n – 1).

3.10 Объединить частные модели в одну общую многофакторную модель.

Пример:

Дано: частные модели вида: Т = а₁∙(в₁)^σ и Т = а₂∙(V)^в2.

Приведём любую из моделей к безразмерному виду, разделив её на наименьшее значение выхода.

Пример: Получим m = и, умножив вторую модель на эту величину, будем иметь Y = m∙а₂∙V^в2 = С∙

3.11 Определить адекватность модели

Найдём дисперсию адекватности = , (8)

где

и Т- экспериментальное и расчетное значения выхода,

N – число экспериментальных серий (в нашем случае N = 7),

к – число параметров обобщённой модели (в нашем случае к = 3),

Модель адекватна при соблюдении следующего условия

F_р = ≤ F_т , (9)

где F_р F_т – расчётное и табличное значения критерия Фишера при достоверности 95% и степенях свободы, соответствующим сравниваемым дисперсиям (Табл.П2 приложения).

3.12 Определить относительную погрешность модели в экспериментальных точках по формуле

δ = . (10)

3.13 Представить обобщённую модель графически

Построить по обобщённой модели поверхность отклика в прямоугольных координатах координатах Y, x1,x2.

3.14 Выводы об адекватности и погрешности модели.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

4.1 Цель работы

4.2 Таблица исходных данных

4.3 Формулы и численные расчёты

4.5 График обобщённой модели

4.6 Выводы

5. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Таблица 3. Результаты экспериментов (выход)

№

Выход

№

Выход

6.ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П1. Критерий Стьюдента при достоверности 95%

Число
t	4,30	2,78	2,45	2,30	2,23	2,20	2,18	2,16
степеней
t	2,14	2,13	2,12	2,11	2,10	2,09	2,09	2,08
свободы
t	2,07	2,07	2,06	2,06	2,05	2,04	2,02	2,00

Таблица П2 Критерий Фишера

Число степеней свободы
мень- шей	большей дисперсии
	164,4	100,5	215,7	224,8	230,2	234,0	244,9	249,0	254,0
	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,4	19,5
	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	5,6
	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
	5,5	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	2,8	2,6	2,4
	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
	4,7	3,8	3,4	3,2	3,0	2,9	2,6	2,4	2,2
	4,6	3,7	3,3	3,1	3,0	2,9	2,5	2,3	2,1
	4,5	3,’7	3,3	3,1	2,9	2,8	2,5	2,3	2,1
	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
	3,9	3,1	2,7	2,4	2,2	2,1	1,8	1,6	1,3