Примеры расчетов на прочность и жесткость

Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равно­весии (рис. П6.1). Материал стержней — сталь, допускаемое напря­жение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого — 2 м, второго — 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлине­ние стержней. Форма поперечного сечения — круг.

Решение

Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статисти­ки (закону действия и противодействия) реакция стержня численно равна нагрузке на стержень. Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей координат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1 б).Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.

Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. На­грузки на стержни: F₁ = 57,4кН; F₂ = 115, 5 кН. Определяем потребную площадь поперечного сечения стерж­ней из условий прочности. Условие прочности на сжатие:

Откуда

Стержень 1 (N₁ = F₁):

Для круга

Полученные диаметры округляем: d₁ = 25 мм, d₂ = 32 мм.

3. Определяем удлинение стержней

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5 кН и моментом т = 3 кН-м, оперта в точке А и подвешена на стержне ВС (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1 м, материал — сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил.

Система находится в равновесии, можно использовать уравне­ние равновесия для плиты:

R_B — реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.

Откуда

По третьему закону динамики реак­ция в стержне равна силе, действующей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.

2. По условию прочности определяем потребную величину площади поперечного сечения: σ = N/A ≤ [ σ ], откуда А ≥ N/[ σ ].

Допускаемое напряжение для матери­ матери­ала стержня

Следовательно,

3. Подбираем сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1).

Минимальная площадь швеллера 6,16 см² (№ 5; ГОСТ 8240-89). Целесообразнее использовать равнополочный уголок № 2 (d = 3 мм), площадь поперечного сечения которого 1,13 см² (ГОСТ 8509-86).

Определить удлинение стержня: