Теория подобия тепловых процессов

Николаев 2008

УДК 519.876.5:536.2

ББК 22.1: 31.31

Л42

Рекомендован Методическим советом НУК

Лейбович Л.И.

Л42 Практикум по математическому моделированию и оптимизации процессов теплообмена. - Николаев: НУК, 2008. - 44 с.

Практикум составлен в соответствии с программой дисциплины "Математическое моделирование и оптимизация процессов теплообмена". В этом издании использованы основные понятия и определения, приведенные в учебном пособии Дымо Б.В. "Практика с тепло - массообмена". Также даны дополнительные расчетные зависимости, контрольные задачи и примеры их решения.

Практикум предназначен для студентов специальностей направления 0905 "Энергетика". Может быть полезным аспирантам, научным и инженерно - техническим работникам в области энергетики.

УДК 519.876.5:536.2

ББК 22.1: 31.31

© Лейбович Л.И., 2008

© Издательство НУК, 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

Усовершенствование теплообменного энергетического оснащения в настоящее время в значительной мере проводится на основе модельных исследований. В условиях модели наиболее просто и мобильно можно исследовать влияние геометрических и режимных параметров, оптимизировать конструкции, а также проверить новые эффективные решения. Часто в натурных условиях такие исследования становятся чрезвычайно сложными и даже невозможными. В данное время ни одно энергетическое устройство не проектируется, если в той или другой мере не пройдена стадия модельного исследования. Специалистам по теплообменному энергетическому оснащению необходимы знания в области математического моделирования для решения подобных задач моделирования и оптимизации, поскольку для многих процессов теплообмена строгое физическое моделирование невозможно или сложно.

Пособие базируется на предшествующем изучении студентами курсов: высшая математика и основы программирования; физика (механика, теплота и молекулярная физика, законы сохранения тепла и массы и прочее); техническая термодинамика, гидрогазодинамика и теплообмен.

А также на базе достаточных знаний у студентов символьного и численного решения разнообразных задач в пакете прикладных программ Mathcad (версии 8-14).

Пособие состоит из разделов соответственно темам дисциплины "Математическое моделирование и оптимизация процессов теплообмена". Каждый раздел содержит в себе примеры решение типичных задач, а также задачи, которые охватывают широкий круг практических вопросов, которые встречаются при решении проблем современной теплоэнергетики. Такое построение удобно для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения, а также проведение лабораторных и практических занятий.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

r - радиус, м;

d - диаметр, м;

l - линейный размер, м;

δ - толщина, м;

τ- время, с;

T - температура, К;

Δ Т - температурный напор, К;

Θ - безразмерная температура.

Р - давление, Па;

G - массовый расход жидкости, кг/с;

w - скорость, м/с;

с_р - теплоемкость, кДж/(кг_*К);

Q - тепловой поток, Вт;

q - плотность теплового потока, Вт/м²;

α - коэффициент теплоотдачи, Вт/ (м^2.К);

k - коэффициент теплопередачи, Вт/ (м2^.К);

ε - степень черноты тела;

λ - коэффициент теплопроводности, Вт/ (м^.К);

ρ - плотность, кг/м³;

a - коэффициент температуропроводности, м²/с;

μ - динамический коэффициент вязкости, Па^.с; или корень

характеристического уравнения;

ν - кинематический коэффициент вязкости, м²/с;

β - температурный коэффициент объемного расширения, К^-1;

g - ускорение свободного падения, м²/с;

х, в, z - координаты, м.

1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ БАЗ

ДАННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Расчеты процессов теплообмена в энергетическом оборудовании требуют постоянного выбора значений физических свойств сред, которые принимают участие в процессе теплообмена. Как правило, эти величины зависят от температуры и давления среды. Постоянная работа с таблицами физических свойств сред и ручное введение выбранных значений усложняет работу с прикладными программами на ЭВМ. Это обосновывает целесообразность перевода табличных данных в форму, удобную к использованию в расчетах теплообменных процессов на ЭВМ. В Mathcad существуют несколько методов интерполяции и экстраполяции. Для большинства инженерных расчетов теплотехнических процессов наиболее наглядным методом, который обеспечивает достаточную точность расчетов, есть метод кубической сплайновой интерполяции - соединение точек с использованием кубических линий. Особенность кубической сплайновой интерполяции базы данных следующая - данные в столбцах матрицы должны располагаться в порядке возрастания.

Пример 1.1. Выполнить кубическую сплайновую интерполяцию физических свойств воздуха (коэффициент теплопроводности λ, кинема-тический коэффициент вязкости ν, число Прандтля Pr) в диапазоне температур Т = 273...313 К. Выполнить вычисления указанных параметров для значения температур воздух 283 и 323 К.

Решение. Из табл. 2Д приложений пособия [2] формируем матрицу базы данных физических свойств воздух в следующем виде:

Каждый столбец вышеприведенной матрицы представим в виде векторов:

Определим векторы коэффициентов кубического сплайна рассмотренных физических величин:

Определяем функции для расчета интерполяционных значений:

Выполним проверку правильности записи программы для интерполяции физических свойств воздуха. Для этого зададим, например, значения температуры воздух внутри рассмотренного диапазона (Т 1 = 283 К). Потом вычислим значения функций Fk 1(T 1), Fk 2(T 1) и Fk 3(T 1) для указанной температуры

Полученные результаты целиком совпадают с табличными данными.

Выполним проверку возможности экстраполяции. Для этого зададим значения температуры воздух за пределами рассмотренного диапазона температур. Например, пусть это значения температуры будет Т 2 = 323 К. Потом вычислим значения функций Fk 1(T 2), Fk 2(T 2) и Fk3 (T 2) для указанной температуры:

Сравнивая значения с табличными данными (см. табл. 2Д [2]) можно сделать вывод об удовлетворительной степени экстраполяции по данному методу.

ЗАДАЧИ

Задача 1.1. Выполнить кубическую сплайнову интерполяцию физических свойств вещества (плотность ρ, теплоемкость с_р, динамический коэффициент вязкости μ) в диапазоне температур Т приведенных в колонке 3 табл.1.1. Выполнить вычисления указанных физических свойств вещества для температур, указаных в табл. 1.1 (колонки 4 и 5).

Таблица 1.1.

№	Вещество и источник базы данных его физических свойств	Диапазон температур Т, К	Значение температур для проверки Т, К
интерполяция	экстраполяция
	Воздух (табл. 2Д [2])	223...313
	Воздух (табл. 2Д [2])	313...393
	Воздух (табл. 2Д [2])	393...523
	Воздух (табл. 2Д [2])	523...723
	Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2])	273...323
	Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2])	323...373
	Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2])	373...423
	Вода на линии насыщения (табл. 3Д [2])	423...523
	Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2])	373...423
	Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2])	423...523
	Дымовые газы (табл. 5Д [2])	373...773
	Дымовые газы (табл. 5Д [2])	773...1473

Задача 1.2. Выполнить кубическую сплайновою интерполяцию физических свойств веществ (коэффициент теплопроводности λ, кинематический коэффициент вязкости ν, число Прандтля Pr) в диапазоне температур Т, приведенных в колонке 3 табл. 1.2. Выполнить вычисления указанных физических свойств вещества для температур, обозначенных в табл. 1.2 (колонки 4 и 5).

Таблица 1.2.

№	Вещество и источник базы данных его физических свойств	Диапазон температур Т, К	Значение температур для проверки Т, К
интерполяция	экстраполяция
	Воздух (табл. 2Д [2])	223...323
	Воздух (табл. 2Д [2])	313...383
	Воздух (табл. 2Д [2])	373...503
	Воздух (табл. 2Д [2])	523...723
	Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2])	273...333
	Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2])	303...363
	Вода на линии насы-щения (табл. 3Д [2])	343...423
	Вода на линии насы-щения (талб. 3Д [2])	493...523
	Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2])	373...443
	Водяной пар на линии насыщения (табл. 4Д [2])	423... 523
	Дымовые газы (табл. 5Д [2])	373...773
	Дымовые гази (табл.5Д [2])	773...473

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Теория подобия тепловых процессов играет важную роль в математическом моделировании и оптимизации процессов теплообмена. На основе чисел теплового и гидродинамического сходства рассчитываются условия моделирования или формируются критериальные уравнения, которые описывают процессы теплообмена. Ниже на приведенных примерах показаны принципы использования теории подобия в моделировании процессов теплообмена

Пример 2.1. На экспериментальной установке исследовался теплообмен между поверхностью горизонтально расположенной трубы и свободным потоком воздуха. Внешний диаметр трубы d = 0,045 г. Температура воздуха, которая находится вдали от поверхности трубы, Т в = 293 К. В экспериментах получены следующие данные за коэффициентом теплоотдачи α, используя которые найти критериальное уравнение для определения чисел Нуссельта:

Δ Т, К 20 40 60 80 100

α, Вт/(м^2. К) 6,00 7,10 7,90 8,45 8,97,

где ΔТ – разность температур между стенкой и воздухом.

Решение. Согласно табл. 7.1. [2] критериальне уравнению имеет вид

Nu = c^. (Gr ^. Pr)^n. (Pr / Pr_с)^m,

где Nu = α d/ λ; Gr = g βΔ Тd ³/ν², Pr = ν/ a. Значение чисел Грасгофа Gr и Прандтля Pr рассчитываются по температуре воздуха вдали от исследуемой трубы. Значение числа Прандтля Pr _с - по температуре стенки. Как правило, значение коэффициента равняется m = 0,25.

Определим влияние отношения (Pr / Pr _с) ^m на значение числа Нуссельта, на- ходя значение чисел Прандтля для соответствующих температур (табл.2Д [2]):

Физические свойства воздуха при температуре Т = 293 К имеют значение: λ =0.0259 Вт/ (м^.К); ν =15.06. 10^-6 м²/с; а =21.4.10^-6 м²/с; β=1/273 К^-1. Введем следующие обозначения физических величин для выполнения расчетов в пакете программ Mathcad

Определим значения чисел Нуссельта, произведения чисел Нуссельта на 1 /( Pr / Pr _с)^0.25 и логарифмы произведений этих величин:

Определим значения комплекса G r^. Pr и их логарифмов:

Строим график зависимости логарифмов этих величин (рис.2.1).

Рис.2.1. Зависимость log(Nu/(Pr/Pr_c)^0.25) от log (Gr.Pr).

По тангенсу угла наклона полученной прямой к оси абсцисс определяем показатель степени n = 0,246. А затем находим значение постоянной с по следующей зависимости с = Nu ^. (Pr/Pr_c) ^0.25 / Gr ^0.246.

Пример 2.2. Резервуар для сохранения сжиженного пропана представляет собой бетонный толстостенный сосуд с внутренним диаметром d _v = 6,0 м и толщиной стенки δ_c = 0,300 м. Начальная температура стенки Т _с = 283К. Хранилище заполняется редким пропаном с температурой Т _п = 231 К. Предполагается, что через τ =10 часов на поверхности резервуара со стороны прилегающего грунта температура стенки достигнет значение Т _с1 = 273 К. Коэффициент теплоотдачи к сжиженному пропану в процессе теплообмена в резервуаре и в модели

α = 280 Вт/(м^2. К). Коэффициент теплопроводности можно считать одинаковымдлягрунта и бетона λ = 1,28 Вт/ (г. К).

Определить параметры модели для натурных исследований процессов теплообмена в таких резервуарах методом математического моделирования, при которых температура на внешней поверхности модели резервуара со стороны грунта достигает значение Т _с1 = 273 Кза τ _г = 1 ч.

Решение. Подобие полей температур в стенках резервуара и модели будет иметь место при равенстве чисел подобия Био Bi = Bi _м и Фурье Fo = Fo _м.

На основании равенства чисел Фурье для резервуара и модели можно записать: (a ^. τ) / δ_c² = (a ^. τ_г) / δ_cм²

или ______ _____

δ_cг = δ_c √ (τ_г / τ) = 0,3 √ (1/10) = 0,095 м.

Число Био для резервуара и модели в этом случае можно модифицировать, заменив коэффициент теплоотдачи от поверхности стенки к сжиженному пропану на коэффициент теплопередачи от грунта к сжиженному пропану через бетонную стенку. В таком случае равенство чисел Био для резервуара и модели будет иметь вид:

k ^. δ_c = k _м ^. δ_cм.

Произведение коэффициента теплопередачи через цилиндрическую стенку [3] на толщину стенки можно записать:

где d _vи d _n– внутренний и внешний диаметр резервуара (модели), м; d_b - диаметр цилиндрического пласта земли, на котором практически нет изме-нения температуры земли, м.

Для расчетов в пакете программ Mathcad введем следующие исходные данные задав значения внутреннего диаметра модели dn1= 1,1

.

Значение комплекса k ^. δ_c для резервуара:

Значение комплекса k _м ^. δ_cмдля модели:

Для выбора окончательных параметров модели построим графики зависимостей k ^. δ_c = f(d_b) и k _м ^. δ_cм = f(d_b1).

Рис. 2.2. Зависимость чисел Био для резервуара и модели.

Анализ результатов моделирования показывает, что обеспечить доста-точно близкие плотности теплового потока на модели можно в случае обес-печения одинаковых условий внешнего теплообмена в резервуаре и модели. Для этого необходимо иметь соотношение диаметров d_b/d_v = 1,6...1,8.

ЗАДАЧИ

Задача 2.1. В результате исследований теплообмена между водой и горизонтальной пластиной длиной l = 8 мпри температуре жидкости вдали от пластины Т _ж = 303 К получили следующие экспериментальные данные (табл. 2.1).

Таблица 2.1.

№	w, м/с	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	α, Вт/(м2 . К)
	α, Вт/(м2. К)
	α, Вт/(м2 . К)
	α, Вт/(м2 . К)
	α, Вт/(м2 . К)
	α, Вт/(м2 . К)

Рассчитать значения чисел Рейнольдса для заданного диапазона скоростей. На основании данных табл. 6.1. [2] определить режим течения жидкости и вид уравнения подобия для расчета среднего значения числа Нуссельта. Найти константу и показатель степени при числе Рейнольдса в избранном уравнении подобия.

Задача 2.2. На основе уравнения для расчета локальных значений чисел Нуссельта при свободном движении воздуха у нагретой вертикальной пластины Nu = 0,473 ^. (Gr ^. Pr) ^0,25 определить значения этих чисел Нуссельта в следующих точках: x/l = 0,2; x/l =0,4; x/l = 0,6; x/l = 0,8 и x/l = 1,0. Исходные данные приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2.

№	l, г	Т в, К	Т ж, К
	0,4
	0,6
	0,8
	0,4
	0,6
	0,8

Задача 2.3.Для снижения потерь тепла из помещения его стены облицовывают пенопластом. Определить необходимую толщину пенопласта для обеспечения коэффициента теплопередачи от воздуха внутри помещения к внешнему воздуху не большее к = 1 Вт/ (м^{2 .} К). Коэффициенты теплоотдачи внутри помещения α_в = 6 Вт/(м^2, К) и извне α_н = 15 Вт/(м^2. К). Исходные данные для расчета приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3.

№	Материал стены	λ, Вт/(м . К)	Толщина стены l, м
	Бетон	1,28	0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18
	Кирпич красный	0,81	0,25; 0,375; 0,5; 0,625
	Кирпич силикатный	0,86	0,25; 0,375; 0,5; 0,625
	Песчаник	0,93	0,2; 0,4; 0,6
	Камень «ракушняк»	0,63	0,2; 0,4; 0,6
	Шлакобетон	0,70	0,2; 0,4; 0,6

Задача 2.4 При построении больших гидросооружений возникает необходимость в искусственном охлаждении плотин, так как теплота, которая выделяется, может привести к образованию трещин. При искусственном охлаждении плотин следует контролировать температуру в отдельных элементах плотины после заключения в них бетона через2, 5, 10 и 27 часов. Температурное поле в одном из элементов плотины получают опытным путем на модели. Коэффициент теплоотдачи в модели в n раз выше, чем коэффициент теплоотдачи в натуральных условиях. Физические характеристики материала модели и натурального образца одинаковые. Определить размеры модели, а также промежутки времени, в течении которых следует измерять температуру в ней, если натуральный образец представляет собой параллелепипед с сторонами l 1 х l 2 х l 3, м. Исходные данные для решения задачи 2.4. данные в табл. 2.4

Таблица 2.4.

№	L1	l2	l3	N
	2,0	2,0
	2,2	2,2
	2,4	2,4
	2,6	2,6
	2,8	2,8
	3,0	3,0