 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Вводные понятия и определения. Элементы
|
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебное пособие для студентов
заочной формы обучения
МАГНИТОГОРСК
ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ЛОГИКИ.
Приступая к изучению математического анализа, студент уже имеет представление о понятии множеств, среди которых выделяют такие, как числовые поля. Напомним обозначения числовых множеств: 
- множество натуральных чисел; 
- множество целых чисел (кольцо целых чисел); 
- мно -жество рациональных чисел (поле рациональных чисел); 
- множество действительных чисел (основное числовое поле);
- множество комплексных чисел. Между всеми этими множествами существуют соответствующие соотношения:
Важную роль в математическом анализе играет понятие ме- ры близости элементов различных множеств (понятие нормы или, связанного с ней, понятия метрики). Для числовых мно -жеств этой мерой является абсолютная величина или модуль.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютной величиной (модулем) числа 
называется само число , если 
, и число 
, если 
.
Абсолютная величина числа обладает следующими свой- ствами, которые часто используются в различных областях математики
1). 
2). 
3). 
4). 
ЗАМЕЧАНИЕ. Для комплексного числа 
модуль равен 
, и для него все свойства сохраняются.
Действительные числа изображаются точками числовой прямой. На некоторой прямой (будем считать её располо -женной горизонтально) выберем положительное направление, начало отсчёта О и единицу масштаба 
.
О 1 М
Для изображения положительного числа возьмём на нашей прямой справа от точки О мочку М на расстоянии (в принятом масштабе), равном данному числу ; для изобра -жения отрицательного числа возьмём точку слева от на -чала отсчёта О на расстоянии, равном 
; числу 
бу -дет отвечать точка O - начало отсчёта. Таким образом мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между все- ми точками прямой и множеством действительных чисел: каж -дое действительное число будет изображено одной опреде -лённой точкой прямой, а каждая точка прямой является изо -бражением одного определённого действительного числа. В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом 
и действительное число и точку числовой оси.
Множество всех действительных чисел , удовлетворяю-щих неравенству 
, где 
, называется отрезком (сегментом) и обозначается 
. Интервалом 
назы -вается множество всех действительных чисел , удовлетво –ряющих неравенству 
. Аналогично определяются понятия полуинтервалов 
и 
Мы будем рассматривать также бесконечные интервалы, введя несобственные точки (числа) 
и 
, т.е. 
Пусть 
. 
- окрестностью точки 
называется интер- вал 
. Проколотой - окрестностью точки 
называется 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество 
действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует число 
такое, что для всякого числа 
выпол- няется неравенство 
.
Множество называется ограниченным, если для всякого 
выполняется неравенство 
(т.е. 
). Число 
называется нижней гранью множества 
, а 
- верхней гранью.
Исходя из свойств действительных чисел, можно утверж -дать, что среди всех нижних граней найдётся наибольшая, а среди всех верхних граней - наименьшая.. Их обозначают 
или 
- точная нижняя грань (infiinum - наинизший); 
или 
- точная верхняя грань множества (supremum - наивысший).
В дальнейшем для сокращения записи и для построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями.
Квантор существования - 
- соответствует словам «сущес- твует», «найдётся». Квантор общности - 
- соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «для всех».
Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Высказывания условимся обозначать 
.
Импликация 
(если 
, то 
) или ( влечёт ) означает высказывание, которое ложно в том или только в том случае, когда истинно, а - ложно.
Эквивалентность - 
( тогда и только тогда, когда ) означает логическую равносильность высказываний и .
Конъюнкция 
означает: высказывание « и » считается истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.
Дизъюнкция 
означает высказывание или считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.
Отрицание - 
означает «не » - истинно, если ложно и, наоборот, ложно, если истинно.
Отрицание некоторого свойства, содержащего кванторы и , получается заменой каждого квантора на двойственный и заменой «свойства» на его отрицание. При этом, если 
, то 
.
Необходимое и достаточное условия: всякое высказывание , из которого следует , называется достаточным условием для . Высказывание в этом случае называется необхо -димым для высказывания .
Если высказывания и таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е. и 
, то говорят, что каждое из высказываний и является необходимым и доста -точным для другого и пишут 
.
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДО –
ВАТЕЛЬНОСТИ.
2.1 Числовые последовательности и операции с ними.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если каждому числу 
натурального ряда чисел: 1, 2, …., , …, по определённому закону, ста - вится в соответствие некоторое действительное число 
, то множество занумерованных действительных чисел
(1)
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Число называется общим членом последовательности, - порядковым номером последовательности. Зная порядко- вый номер и общий член последовательности, можем указать любой член последовательности. Сокращённо последователь -ность (1) обозначается символом 
. Например символом
обозначается последовательность: 
и таким же образом, по общему члену последовательности можно определить любой член последовательности.
Введём понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны произвольные последова-тельности и 
. Суммой этих последовательностей называется последовательность 
, разностью - после- довательность 
, произведением - последовательность 
и частным - последовательность 
. (При определении операции необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.
ОРПЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу) если существует такое действи- тельное число (число ), что каждый элемент после -довательности удовлетворяет неравенству
. (1)
При этом число (число ) называется верхней (нижней) гранью последовательности , а условия (1) называются условиями ограниченности последовательности сверху (снизу).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. если существует число 
, такое что 
для всех 
.
Например, последовательность 
ограничена снизу, но неограниченна сверху;
последовательность ограничена сверху числом 1, а снизу числом 0, т.е. просто ограничена;
последовательность 
не ограничена ни сверху, ни снизу.
2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
О п р е д е л е н и е 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа 
существует номер 
, начиная с которого (т.е. для всех 
) выполняется неравенство 
. (2)
Например, последовательность 
являет-ся бесконечно большой, а неограниченная последовательность 
не является бесконечно большой, так как для сколь угодно больших номеров существуют элементы равные 1 и невозможно выполнение неравенства (2).
О п р е д е л е н и е «. Последовательность 
называется бесконечно малой, если для любого положительного числа 
существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству 
.
Например, последовательность является бесконечно малой. В самом деле, для произвольного 
существует номер 
, начиная с которого (для всех ) выполняется неравенство: 
.
Основные свойства бесконечно малых последователь- ностей.
1 Сумма или разность бесконечно малых последова- тельностей является бесконечно малой последова -тельностью. (более того, как следствие, алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью).
2 Бесконечно малая последовательность - ограничена.
3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую - бесконечно малая последователь- ность. (в частности, при умножении бесконечно малой последовательности на любое число получим бесконеч- но малую последовательность).
4 Произведение двух бесконечно малых последователь- ностей - бесконечно малая последовательность (как следствие, произведение любого конечного числа бес- конечно малых последовательностей является бесконеч- но малой последовательностью).
5 Если все элементы бесконечно малой последователь –ности равны одному и тому же числу 
, то 
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
ТЕОРЕМА 1 Если - бесконечно большая последова- тельность то 
является бесконечно малой, и наоборот, если - бесконечно малая последовательность, то последовательность 
является бесконечно большой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует отметить, что у бесконечно большой последовательности только конечное число элементов может быть равно нулю Это следует из определения бесконечно большой последовательности, так как существует номер , начиная с которого для всех элементов выполняется неравенство . Это означает, что для всех элементы последовательности не равны нулю и поэтому последовательность имеет смысл, если её элементы начинать рассматривать начиная с номера . Докажем, что последовательность бесконечно малая. Возьмём произвольное число . Для числа 
можем указать номер 
, начиная с которого ве элементы последовательности удовлетворяют неравенству 
. Тогда, начиная с этого номера, будет выполняться неравенство 
. Таким образом доказано, что последовательность является бесконечно малой. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.
2.3. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
О п р е д е л е н и е 1 Число 
называется пределом число- вой последовательности при 
, если для любого числа существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству
. (3)
Символически это записывается так 
, или 
при .
Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся; ели же предела не существует, то её называют расходящейся.
Замечание 1 В соответствии с этим определением, всякая бесконечно малая последовательность имеет предел и этот предел равен нулю.
Замечание 2 Бесконечно большие последовательности иногда называют последовательностями, сходящимися к бесконечности и записывают 
.
Замечание 3. Если , то последовательность 
является бесконечно малой. Следовательно, любой элемент сходящейся последовательность можно представить в виде
, (4)
где 
- элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 4. Неравенство (3) равносильно неравенствам 
или 
. Последнее неравен -ство означает, что элементы находятся в - окрестности точки . В соответствии с этим получаем ещё одно опреде -ление сходящейся последовательности:
О п р е д е л е н и е 2. Последовательность называется сходящейся, если существует число такое, что в любой - окрестности этого числа находятся все элементы последова -тельности , начиная с некоторого номера.
Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.
- Последовательность
сходится и предел этой последовательности равен 1. В самом деле, разность 
и для доказательства сходимости достаточно убедиться, что последовательность 
является бесконечно малой. Для произ -вольного 
можем взять любой номер 
. Тогда 
. Следовательно, для всех чисел , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено 
, т.е. последова- тельность в самом деле бесконечно малая. - Последовательность
сходится и имеет пределом число 
. В самом деле
. Из этих неравенств получается 
. Так как при , 
, то для произвольно взятого , выбрав номер из условия 
, получим 
при .
Основные свойства сходящихся последовательностей:
- Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
- Сходящаяся последовательность ограничена.
- Алгебраическая сумма сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью, причём, если
, то 
. - Произведение сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью, причём, если , то
.
5. Частное двух сходящихся последовательностей и
, при условии, что предел не равен нулю,
является сходящейся последовательностью, предел
которой равен частному пределов последовательностей
и
6. Из сходимости последовательности 
следует
сходимость последовательностей
для любых чисел и .
7. Если все элементы некоторой сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству 
, то и предел этой последовательности - удовлетворяет такому же неравенству, т.е. 
.
8. Если элементы сходящихся последовательностей
и , начиная с некоторого номера, удовлетво-
ряют неравенству 
, то их пределы удовлетворя-
ют тому же неравенству, т.е. 
.
9. Если все элементы сходящейся последовательности находятся в отрезке 
, то её предел также находится в этом отрезке.
10. Пусть и 
- сходящиеся последовательности, причём 
. Пусть, кроме этого, начи- ная с некоторого номера, элементы последовательнос- ти удовлетворяют неравенству: 
. Тогда последовательность также сходится и имеет предел, равный .
Замечание В соответствии с теоремой 1 из 1.3, любая
последовательность вида 
, является бесконечно малой, т.е. 
. Поэтому, учитывая свойства 3 – 7 сходящихся последовательностей, можем легко вычислять следующие пределы:
Пример 1. Найти предел 
. Разделим чис- тель и знаменатель дроби на 
. В результате получим 
В дальнейшем, при вычислении пределов такого вида, ни к чему повторять такую последовательность операций. Легко проверить и следует запомнить следующее правило:
ПРАВИЛО: Если в дроби старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю; если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если старшие степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями.
Рассмотрим ещё один пример:
Пример 2. Вычислить предел
.
Под знаком предела находится неопределённое выражение вида 
. Для вычисления такого предела желательно сначала получить дробь и затем использовать правило. Для этого умножим и разделим это выражение на сумму корней, чтобы получить в числителе разность квадратов. Получим:
2.4. Монотонные последовательности.
О п р е д е л е н и е Последовательность называется убы- вающей, если для всех 
выполняется неравенство 
; последовательность называется невозраста -ющей, если для всех выполняется неравенство 
; последовательность называется возрастаю -щей, если для всех выполняется неравенство 
; последовательность называется неубываю -щей, если для всех выполняется неравенство 
. Во всех этих случаях последовательность называется монотонной.
Например, 1. Последовательность 
является невозрастающей. Она ограничена сверху своим первым элементом 1, а снизу числом 0.
2. Последовательность 
является неубывающей. Она ограничена снизу числом 1, а сверху неограниченна.
3. Последовательность 
является возрастающей и ограниченной с двух сторон - снизу числом 0, сверху - числом 1.
Признак сходимости монотонной последовательности Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится, или, иначе, этот признак можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обоих сторон, то она сходится.
Замечание: условие ограниченности монотонной последова -тельности является необходимым и достаточным условием сходимости.
Следствием этого признака является так называемая
ТЕОРЕМА (О вложенных отрезках) Пусть дана бесконечная система отрезков 
и пусть длины этих отрезков: 
стремятся к нулю при 
. Тогда существует, и притом единственная, точка , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство. Прежде всего следует заметить, что точка , общая для всех отрезков, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась ещё одна точка 
, принадлежащая всем отрезкам, то и весь отрезок 
принадлежал бы всем отрезкам 
. Тогда для всех выполнялось бы неравенство 
. Но это невозможно, так как 
при . Докажем теперь существование точки . Так как последовательность отрезков является стягивающейся, то последовательность левых концов 
является неубывающей, а последова –тельность правых концов 
- невозрастающей. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все элементы этих
последовательностей содержатся в отрезке 
), то по признаку сходимости они обе сходятся. Но из того, что последовательность 
является бесконечно малой, следует, что обе последовательности имеют тот же предел, который мы можем обозначить , причём для всех выполняется неравенство 
, т.е. точка - общая для всех отрезков.
Ещё одним следствием признака сходимости монотонных последовательностей является доказательство существования предела последовательности 
, которая ограничена снизу числом 2, а сверху - числом 3. Предел этой последовательности считаем, по определению равным 
, т.е.
.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
