Свойства определенного интеграла. Df. Промежуток с гранич. т

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл сущ. определенный интеграл и справедливо равенство

2.

Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:

1. Пустьф-ии интегрируемы на ***

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности. 1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем, Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным. 2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к **** Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.   3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп. Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы совпадают). Д-во: на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2^му 4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то 5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство: 6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая что 25.Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности. Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция непрерывна на этом отрезке. Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x₀ x х+∆х b

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.