Теорема Лагранжа

Теорема Ролля

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і приймає рівні значення на його кінцях, тобто , то в інтервалі існує хоча б одна точка така, що .

Геометрично: знайдеться точка С така, що дотична з цією абсцисою до графіка паралельна осі ОХ (див. рис.39)

Y

f(a) f(b)

a с₁ с₂ b X

Рис.39

Доведення. Оскільки функція неперервна на , то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого і найбільшого значень. Якщо б ці значення досягались на кінцях відрізка в точках і , то за умовою теореми неперервна і випливало б, що функція - стала і тоді в кожній точці відрізка . Тому припускаємо, що функція досягає свого, наприклад, найбільшого значення у деякій точці (див. рис. 39), .

Обчислимо ліву похідну

(1)

і праву похідну

(2)

Згідно диференційовності її ліва і права похідні збігаються, тому із співвідношень (1) і (2) випливає, що .

З рис. 39 видно, що можливі і інші точки, в яких похідна дорівнює нулю .

6.2. Теорема Коші

Теорема. Якщо функції f(x) i j(x) неперервні на [a, b] і мають похідні в інтервалі (a, b) і j¢(х)¹0 для х є (a, b), то існує точка , така, що має місце співвідношення:

(1)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

,

де число підберемо таким, щоб функція задовольняла теорему Ролля.

Із неперервності на функцій і випливає, що теж неперервна. Крім того, із диференційовності і в інтервалі випливає диференційовність . Залишилось знайти число таким, щоб , тобто

. (2)

Отже, згідно з теоремою Ролля існує точка , така що , тобто

. (3)

Із рівностей (2) і (3) отримуємо формулу Коші (1).

Теорема Лагранжа

Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну на інтервалі (a, b). Тоді існує на інтервалі (a, b) точка c, для якої виконується рівність

Геометричний зміст теореми. Якщо останню рівність записати у вигляді

Y

c

B

A a M

f(a) f(b)

a c b X

то із D АВМ: кутовий коефіцієнт хорди АВ. Згідно теореми існує точка з абсцисою , дотична в якій до графіка буде паралельною хорді.

Якщо покласти у формулі Коші (1) (див. 6.2) (тоді ), то отримаємо

- формулу Лагранжа.

6.4. Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай функції f(x) i j(x) визначенні і мають похідну в околі точки х₀, а в точці х₀ , тоді якщо існує границя , то існує границя ,

причому виконується рівність

Доведення. Функції і задовольняють умовам теореми Коші в околі точки , тому

,

де при , а при .

Отже, якщо , то і , тому

.

В останньому виразі замість змінної можна записати змінну , оскільки границя не залежить від позначення змінної.

За допомогою теореми 1 можна розкривати невизначеність вигляду , причому правило Лопіталя можно застосовувати повторно, якщо в процесі функції і їх похідні задовольняють умовам теореми.

У випадку невизначеності користуються такою теоремою.

Теорема 2. Нехай f i j визначені і мають похідну в околі точки

причому j(х), j¢(х)¹0 в цьому околі, тоді, якщо існує , то існує і

До викладеного додамо, що правило Лопіталя залишається справедливим при .

Зауваження. За допомогою теорем 1 і 2 розкриваються такі невизначеності:

1. і .

2. Невизначеності і за допомогою алгебраїчних перетворень зводяться до вигляду або .
3. Невизначеності і за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності .

Далі ці випадки розглянемо на прикладах.

Приклади

Застосовуючи правило Лопіталя знайти границі:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Розв’язання

1. .

2. .

3.

.

4.

.

5. .

Позначимо , а потім про логарифмуємо і знайдемо границю

.

Оскільки для неперервної функції

,

то в даному випадку . Отже, .

6. . Покладемо , тоді

,

тобто

.

Приклади для самостійного розв’язання

1. . 2. . 3.

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Відповіді:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . Вказівка. Невизначеність розкрити шляхом по членного ділення чисельника і знаменника на . Правило Лопітааля не підходить оскільки не існує . 8. .

VII. Дослідження функцій

7.1. Зростання і спадання функцій

Означення. Якщо функція y=f(x) така, що більшому значеню аргумента відповідає більше значення функції, то функція y=f(x) називається зростаючою. Аналогічно означається спадна функція.

Зручно відповідно позначити: ¦(х)­ і ¦(х)¯.

Теорема 1.

1) Якщо функція f(x), яка має похідну в інтервалі (a, b), зростає на [a, b], то її похідна в інтервалі (a, b) невід’ємна, тобто ¦¢(х)³0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну в (a, b), причому ¦¢(х)>0 для a<x<b, то ця функція зростає на [a, b].

Y

a

рис.40 X

Скорочено можна записати:

Доведення. 1. Нехай зростає і в околі точки існує скінчена похідна . Розглянемо ліву похідну в цій точці

та праву похідну

.

Оскільки ліва і права похідні збігаються в точці , то із останніх нерівностей випливає .

2. Нехай в околі точки . Застосуємо до різниці формулу Лагранжа

. (1)

Розглянемо два випадки. а) , тоді і права частина , тобто із (1) випливає

- функція зростає

б) , тоді і , із (1) маємо - функція зростає.

Отже, в околі точки (як зліва так і справа) функція зростає, якщо .

Аналогічна теорема має місце, якщо функція f(x) спадає.

Теорема 2.

1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Розв’язання

1. Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь

, .

Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і

()

За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.

Якщо , то

- функція зростає.

Отже, для ;

для .

2. -функція визначена для всіх . Її похідна

має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали

, ,

Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція зростає.

3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну

.

Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:

, функція спадає;

, функція зростає;

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція спадає.

Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.

4. Функція існує для всіх , її похідна

.

Оскільки похідна невід’ємна, то дана функція неспадна для всіх .

5. Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,

. Функція існує на проміжку . Похідна функції має вигляд

;

- корінь похідної, яка до того має таку область існування .

Для , функція зростає;

Для , функція спадає.

Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.

Приклади. Довести нерівності.

6. . 7. .

8. .

9. .

Розв’язання

6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.

7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .

8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто

при .

Приклади для самостійного розв’язання.

Визначити проміжки монотонності функцій

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9.

Довести нерівності

10. , якщо .

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1. ; .

2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .

7.2. Максимуми і мінімуми функції

Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х₀, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

¦(х)£¦(х₀).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х₁, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

¦(х)³¦(х₁).

f(x₂)=y_max

Y f(x₀)=y_max

f(x₃)=y_min

f(x₁)=y_min

x₀ x₁ x₂ x₃ X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x₀,x₁,x₂,x₃ – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х₀, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто ¦¢(х₀)=0.

Наприклад. На рис.1 ¦¢(х₀)=¦¢(х₁)=¦¢(х₂)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

¦¢(х₀)=0 y=f(x)

0 x₀ X

рис.43

Точки в яких ¦¢(х₀)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де ¦¢(х₀)=0, також серед точок, в яких похідна ¦¢(х) не існує. Наприклад в точці х₃ (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х₃ – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=¦(х):

1) неперервна при х=х₀;

2) має похідну ¦¢(х₀) в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3) похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х₀.

Тоді, якщо при переході через точку х₀ (зліва направо)

а) ¦¢(х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х₀ маємо максимум;

б) ¦¢(х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х₀ маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х₀ екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=¦(х) в точці х=х₀ має першу і другу похідну, причому ¦¢(х₀)=0, а ¦¢¢(х₀)¹0, і ¦¢¢(х) неперервна в околі точки х=х₀, то в точці х=х₀ у=¦(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо ¦¢¢(х₀)<0, і мінімум, якщо ¦¢¢(х₀)>0.

Див., напр., рис. 44

Y

x₀ x₁ X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли ¦¢(х₀)=0 і ¦¢¢(х₀)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=¦(х) має в околі точки х=х₀ неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f⁽ⁿ⁾(x₀)¹0, то при n парному функція має максимум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, i мінімум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)>0; якщо n – непарне, то функція екстремума в точці х=х₀ не має.

Приклади.

Дослідити на екстремуми функції:

1. . 2. .

Розв’язання

1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.

.

В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.

2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали

3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.

В даному випадку:

Якщо , то із маємо , функція - зростає;

Якщо , то із функція - спадає;

Якщо ж , то , функція - зростає.

Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.

4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак

з “-“ на “+”, то в точці - ,

з “+” на “-“, то в точці - .

У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,

.

При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум

.

Відповідь: .

2. . Область існування: .

Знаходимо похідну

.

Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали

на - ф. зростає;

на - ф. зростає;

на - ф. спадає;

на - ф. зростає.

У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.

;

.

Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.

Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна

,

Висота коробки - , тоді об’єм

Рис.

Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її

.

Знаходимо похідну

Прирівняємо похідну до нуля

.

.

Дослідимо знаки похідної.

Отже, при об’єм досягає максимуму.

Приклади для самостійного розв’язання

Дослідити на екстремум такі функції:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

Відповіді: 1. . 2. ; . 3. ; .

4. . 5. екстремума немає. 6. ; . 7. .

8. .

9. .

10, .

7.3. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Нехай у=¦(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти.

Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b).

Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку

[a, b] потрібно:

1) знайти всі максимуми і мінімуми f(x) внутрі відрізка;

2) обчислити її значення на кінцях відрізка, тобто f(a) i f(b).

3) із всіх знайдених значень вибрати найбільше.

Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку.

На прикладі слідуючого рисунка маємо

Y

M

mf(a)f(b)

a x₁ x₂ x₃ b X

рис.45

M=max{f(a), f(x₂), f(b)}=f(b) – найбільше значення f(x);

m= min{f(a), f(x₁), f(x₃), f(b)}=f(x₁) – найменше значення f(x) на відрізку [a, b].

Приклади для самостійного розв’язання.

Знайти найменше та найбільші значення функцій на заданих проміжках.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. .

8. . 9. .

Відповіді: 1. . 2. .

3. . 4. не існує; . 5. . 6. . 7. не існує. 8. не існує. 9. .

7.4. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину

Означення 1. Крива, що описується функцією y=f(x), називається опуклою в інтервалі (a, b), якщо всі точки кривої лежать нижче довільної її дотичної проведеної в цьому інтервалі.

Аналогічно, якщо всі точки кривої лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі, то крива називається угнутою.

Y

y=f(x)

M

A b c X

рис.46

На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).

Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.

На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.

Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.

Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢(x) i f¢¢(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢¢(x)<0, i угнута, якщо f¢¢(x)>0, для всіх х з цього інтервала.

Так, напр., відповідно на рис.1 f¢¢(x)<0, якщо хÎ(a, b), f¢¢(x)>0, якщо хÎ(c, d).

Точки перегину знаходяться за наступною теоремою

Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо ,¥ або не існує і , змінює знак при переході через х₀, то х₀ є точкою переги