Функция спроса и ее свойства

В предыдущем параграфе спрос был определен как оптимальное решение задачи потребителя (3.4.1) - (3.4.2) (см. определение 3.3). Спрос есть платежеспособная потребность, а платежеспособность предполагает соответствие цен и дохода. Поэтому мы можем утверждать, что общее решение задачи потребителя вычисляется как функция от цен и дохода: . Точно так же . К этому же выводу можно прийти исходя из вида задачи (3.4.1) - (3.4.2), так как и K являются параметрами этой задачи.

Решение оптимизационной задачи - это лишь один из способов определения спроса, который схематично можно представить так:

где D - отображение, представленное максимизацией функции u с учетом бюджетного ограничения. В общем случае D - это некоторая совокупность правил, с помощью которых потребитель определяет свой спрос.

Пусть - множество допустимых наборов товаров, - пространство цен. Функцией спроса (индивидуального потребителя) называется отображение D, которое каждой паре ставит в соответствие множество наиболее предпочтительных наборов товаров

(3.5.1)

где - множество всех подмножеств множества X. Это же отображение можно записать как

Любая точка называется спросом (при ценах и доходе ).

Итак, в общем случае функция спроса - это многозначное отображение. Действительно, если - вектор спроса, а множество не пусто, то любая точка множества является спросом.

Для отображения D, представленного задачей (3.4.1) - (3.4.2), имеем:

(3.5.2)

Если в (3.4.1) функция полезности u строго вогнута, то функция спроса однозначна, т.е. множество состоит из одной точки максимума функции .

В случае неоднозначности функции спроса возникает дополнительная проблема выбора единственной точки . Этот вопрос будет рассмотрен в главе VII.

Принимая во внимание тот факт, что доход потребителя зависит от цен товаров, , можно в пространстве определить функцию спроса , так что

При увеличении цен на товары, вообще говоря, доход потребителя должен быть компенсирован. Это требование формализуется как свойство однородности первой степени (или линейной однородности) функции дохода: для любых . Как должен при этом измениться спрос? Интуитивно ясно, что если повышение цен пропорциональным образом компенсируется повышением дохода, то спрос должен оставаться на прежнем уровне.

Если для любых

то говорят, что функция спроса однозначна нулевой степени(относительно всех цен и дохода). Это есть инвариантность спроса относительно пропорционального повышения цен и дохода.

Для n функций спроса

(3.5.3)

полученных как решение задачи (3.4.1) - (3.4.2), это свойство выполнено. Действительно, при изменении цен в раз задача (3.4.1) - (3.4.2) деформируется в следующую:

Оптимальной решение этой задачи обозначим . Бюджетное ограничение можно записать как . Так как , то мы приходим к исходной задаче, так что

Для функции спроса однородной нулевой степени объем потребления зависит не от цен, как таковых, и дохода, а от отношений цен (относительных цен) и от отношения денежного дохода к цене (реального дохода). Выбирая какой-либо товар, например, товар i=1, в качестве "единицы измерения" (эквивалента) и полагая коэффициент пропорциональности , функцию спроса можно записать в виде:

где - относительная цена, - реальный доход. В качестве коэффициента пропорциональности можно выбрать, например, величины

или .

Рис. 3.12. Линейная функция спроса

Какова чувствительность спроса на изменение цен и дохода? Как мы видели в § 3.3, она измеряется эластичностью.

Напомним, что эластичность спроса по цене показывает, какое процентное изменение спроса последует за однопроцентным увеличением цены товара:

Так как (закон спроса для нормальных товаров), , то (см. также (3.3.4)). Так как при движении по кривой безразличия величина меняется (за исключением некоторых тривиальных случаев) и тем более изменяются и , то эластичность спроса по цене в различных точках кривой безразличия различна.

Тривиальным является случай, когда функция спроса линейна:

В этом случае постоянна и равна , однако, эластичность не постоянна, ввиду непостоянства отношения . Например (рис. 3.12), в случае одного товара:

Имеется еще два тривиальных (особых) случая эластичности спроса по цене, показанных на рис. 3.13

Рис. 3.13. Особые случаи эластичности спроса по цене

В случае а) - имеется только одна цена , по которой потребитель будет приобретать товар; даже при малейшем увеличении цены выше этого уровня требуемое количество товара упадет до нуля, и любое снижение цены приведет к неограниченному росту спроса. Кривая же спроса, изображенная на рис. 3.13 б) совершенно неэластична. Потребитель приобретет фиксированное количество товара независимо от цены.

Координатная запись функции спроса (3.5.3)

говорит о том, что спрос на один вид товара зависит, вообще говоря, от цен и других товаров.

Процентное изменение количества товара вида i при однопроцентном увеличении цены товара вида называется перекрестной эластичностью спроса по цене:

или

(3.5.4)

Рис. 3.14. Схема примера 3.5

Для взаимозаменяемых товаров (таких, как чай и кофе) повышение цены товара j увеличивает спрос на товар i, поэтому перекрестная эластичность положительна. Для взаимодополняющих друг друга товаров (таких, как кофе и сахар) повышение цены одного товара влечет понижение спроса на другой, поэтому перекрестная эластичность отрицательна.

До сих пор мы говорили о точечной эластичности, т.е. о эластичности, измеряемой в отдельной точке кривой спроса. Если требуется измерение эластичности на отрезке (точнее, на дуге) кривой спроса, то применяют дуговую эластичность спроса по цене:

(3.5.5)

где

- цена и количество товара в начальной (конечной) точке рассматриваемой дуги кривой спроса. Дуговая эластичность тем точнее, чем ближе друг к другу точки и . Устремляя расстояние между ними к нулю, очевидно, мы получим формулу точечной эластичности.

Пример 3.5 Пусть кривая спроса имеет вид . Требуется вычислить эластичность спроса по цене при изменении последней от до (рис. 3.14) Прежде всего, пользуясь формулой спроса, найдем соответствующие этим ценам количества товаров:

Отбрасывая отрицательные значения корней, как не имеющих смысла, найдем: . Теперь наша задача сводится к вычислению дуговой эластичности спроса по цене для участка (дуги) кривой спроса от точки A=(136,8) до точки B=(119,9). Пользуясь формулой (3.5.5), получаем:

Для сравнения вычислим точечную эластичность в точке A:

(Здесь мы учли неравенство ).

Представляет определенный интерес также эластичность спроса по доходу. Это есть процентное изменение количества требуемого товара (спроса) при однопроцентном изменении дохода:

Пользуясь схемой проведенного выше анализа эластичности спроса по цене, читатель самостоятельно может провести анализ эластичности спроса по доходу.