Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Введение в математический анализ



Пример 1. Найти пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение.

а) Под знаком предела имеется дробная рациональная функция и при х→∞ получается неопределенность вида . Чтобы найти предел дробной рациональной функции при х→∞, необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на хn, где n – наивысшая степень многочленов Р(х) и Q(x). Разделим числитель и знаменатель данной дроби на х2 и применим основные теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых величин:

б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

в) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=0 приводит к неопределенности . Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной.

Так как при х→∞ ln(1 + x)~ x, tg x ~ x, то ln(1 + 3x sin x) ~3x sin x, tg x2~ x2 и

(используя 1-ый замечательный предел ).

г) При х→∞ основание стремится к 1, а показатель степени (2х – 1)→∞. Следовательно, имеем неопределенность вида 1. Для ее раскрытия будем использовать II замечательный предел

Представим основание в виде суммы: единицы и некоторой бесконечно малой величины:

.

Тогда

.

Положим х – 2 = 3у; при х → ∞ переменная у → ∞. Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как х = 3у + 2, то 2х -1 = 2(3у + 2) – 1 = 6у + 3. Таким образом,





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...