Теоретична частина. Дії додавання, віднімання, множення і ділення над багаторозрядними двійковими числами виконують за тими самими правилами

Двійкова арифметика

Дії додавання, віднімання, множення і ділення над багаторозрядними двійковими числами виконують за тими самими правилами, що й у десятковій системі числення. При цьому використовують таблиці додавання і множення двійкових чисел:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Аналізуючи приклади множення двох чисел у двійковій системі числення, звернемо увагу на ті обставини, що множник складається тільки з 0 і 1, що всі проміжні добутки дорівнюють множеному або 0, що проміжні добутки зсуваються ліворуч відповідно до положення 1 у множнику, що операція множення замінюється послідовним додаванням множеного.

В ЕОМ всі чотири арифметичні дії зводяться до дії додавання.

Розглянемо, як можна віднімання замінити додаванням. Для цього в ЕОМ використовується доповняльне число, яке дозволяє цю операцію звести до операції додавання двох чисел.

Доповняльне число — це число, яке доповнює дане число до значення наступного старшого розряду.

Наприклад, доповняльне число:

· до числа 234 буде 766, бо 766 доповнює 234 до 1000;

· до числа 75 буде 25, бо 25 доповнює 75 до 100;

· до числа 6334 буде 3666, бо 3666 доповнює 6334 до 10000.

Правило виконання віднімання за допомогою доповняльного числа:

Щоб відняти число В від числа А, достатньо скласти число А з числом, доповняльним до В і відкинути перенос у сусідній старший розряд.

Наприклад: 842 - 623 = 842 + 377 = (1)219 = 219

Якщо в десятковій системі цей прийом не справляє враження, то в двійковій системі заміна віднімання на додавання приносить відчутні переваги. Справа в тому, що доповняльне число в цій системі створюється дуже просто:

Щоб одержати доповняльне двійкове число, достатньо всі цифри числа замінити на протилежні (0 на 1, а 1 на 0)і в молодший розряд додати 1.

Наприклад, доповняльне число до числа 1001 буде 0110+1 = 111; до числа 110010 буде 001101 + 1 = 1110.

Тепер розглянемо приклад, як виконується віднімання за допо­могою доповняльного числа у двійковій системі числення.

Наприклад: 11110- 10011 = 11110+ 1101 =(1)01011 = 1011

Перш ніж розглянемо операцію ділення на ЕОМ, зробимо деякі по­яснення. Нехай потрібно 60 поділити на 12, не знаючи таблиці множення. Послідовно будемо віднімати 12 спочатку від 60, а потім від результату попереднього віднімання. І так доти, поки не одержимо у результаті віднімання 0. При цьому будемо рахувати кількість віднімань.

60-12 = 48 —1-е віднімання

48-12 = 36 —2-е віднімання

36-12 = 24 —3-є віднімання

24-12=12 — 4-е віднімання

12-12 = 0 —5-е віднімання

Тобто, 60:12 = 5

У цьому прикладі замінимо віднімання на додавання з доповняль­ним числом і одержимо алгоритм ділення чисел шляхом послідовного додавання. Якщо два числа не діляться націло, тоді алгоритм зупиняє­ться при залишку, меншому дільника для одержання цілої частини дробу. Далі аналогічно обчислюється дробова частина.