Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. 4 страница

надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6), по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы находят критическую точку . Если окажется, что

то отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе

по уровню значимости α, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области. Если окажется, что

то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

сначала находят «вспомогательную» критическую точку и полагают границу левосторонней критической области

Если окажется, что

то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Пример 8. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя и исправленное среднее квадртическое отклонение . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

По условию критическая область – двусторонняя. Из приложения 6, по таблице критических точек распределения Стьюдента, при уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы находим критическую точку (о соответствующих статистических функциях пакетов см. пример 5). Получилось, что . Поэтому отвергать нулевую гипотезу нет оснований. Следовательно, выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической генеральной середине.

Замечание 2. Отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости α, тем самым находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью . Например, проверяя нулевую гипотезу при , мы требовали, чтобы вероятность попадания критерия

в двустороннюю критическую область была равна уровню значимости . Следовательно, вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы равна . Т.е. с надежностью выполняется неравенство

или, что равносильно

где . Т.о. получен доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном с надежностью (см. параграф 10.3).

Замечание 3. При решение конкретных задач практики часто известна точность , которую не должна превышать абсолютная величина разности между выборочной и гипотетической генеральными средними. Можно потребовать, например, чтобы средний размер изготовляемых деталей отличался от эталона не более чем на величину . Каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы это требование выполнялось с вероятностью ? Подобный вопрос рассматривался в главе 10, и при известном σ точность равнялась , откуда . В том случае, если σ неизвестно, но имеются его несмещенная оценка , получим

5.Рассмотрим задачу сравнения двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями. Причем на этот раз нас будут интересовать зависимые выборки. В предыдущих задачах выборки предполагались независимыми. Будем рассматривать выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимыми. Пусть, например, х_і, i= 1,2,…, n – результаты измерений деталей первым прибором, а у_і, і =1,2,…, п – результатом измерений этих же деталей, произведенные в том же порядке вторым прибором. Тогда х_і и у_і попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как правило , то возникает необходимость установить, значимо или незначно различаются пары этих чисел. Подобная задача возникает и при сравнении двух методов исследования, осуществленных одной лабораторией (или исследование произведено одним и тем же методом двумя различными лабораториями).

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Необходимо при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Наша цель – перейти от задачи сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней. Напомним, что такая задача решилась в данном параграфе (см. пример 8). Введем случайные величины . Обозначим их среднюю как

.

Если нулевая гипотеза справедлива, то и, следовательно, .

Итак, нулевую гипотезу можно записать , а конкурирующую .

Замечание 4. В дальнейшем наблюдаемые неслучайные разности будем обозначать через в отличии от случайных разностей

Аналогично выборочную среднюю этих разностей обозначим через в отличие от случайной величины . В итоге, задача сравнения двух средних и сведена к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением средней В уже известной формуле

надо положить

, ,

и, тогда

Сформулируем правило проверки гипотезы.

Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе (по двум зависимым выборкам одинакового объема), надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6), при заданном уровне значимости , помещенном в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы найти критическую точку . Если окажется, что , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. В противном случае ее отвергают.

Пример 9. Некоторое исследование проведено одним и тем же методом в двух разных лабораториях. Результаты исследований оказались следующими (табл.1):

Табл.1. Результаты исследования в двух лабораториях

При уровне значимости установить, значимо или незначимо различаются результаты исследований.

Решение. Вычитая из чисел первой строки табл.1 числа второй, получим: ₁=-1, ₂ = 0, ₃ = -1, ₄ = -1, ₅ = 1.

Выборочная средняя и исправленное среднее квадратическое отклонение, соответственно, равны: , . Вычислим наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стьюдента(приложение 6), при уровне значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы

находим критическую точку .Т.к. , то отвергать нулевую гипотезу нет оснований. Т.Е. результаты исследований различаются незначимо.