Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции.

Понятие дифференциала, его геометрический смысл, свойства.

Пусть функция определена в точке и дифференцируема в ней, то есть существует

.

Следовательно , представлено в виде суммы двух бесконечно малых.

Сравним оба бесконечно малых слагаемых.

.

То есть , это означает, что второе слагаемое бесконечно мало по сравнению с первым слагаемым . Следовательно, если первое слагаемое (линейное относительно ) играет главную роль в приращении функции .

Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается

(8.1.1)

Пусть . Следовательно, и , откуда ,

.

Так как , то .

Если , то или

(8.1.2)

Представление функции в виде (8.1.2) называется линеаризацией функции.

Примеры:

1) , , .

2) , .

3) , , в окрестности точки .

Геометрический смысл дифференциала

прира-щение ординаты касательной.

приращение функции.

Рис. 8.1.