Определители квадратных матриц и их свойства

A = (a₁₁) ∆=|A| = a₁₁

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

A_2x2 = │А₂₂│= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ – число, которое

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ называется определителем 2-го

порядка.

Для матрицы А_3х3 вводится понятие определителя 3-го порядка

.

a₁₁ а₁₂ а₁₃

∆ а₂₁ а₂₂ а₂₃ = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₂₁ а₃₂ а₁₃-а₁₃ а₂₂ a₃₁ -

А₃₁ а₃₂ а₃₃ - а₂₃ а₃₂ а₁₁- а₁₂ а₂₁ а₃₃

Для вычисления определителя используется правило треугольника

......

......

......

+ -

Аналогично определителю 3-го порядка вводится понятие определителя n-го порядка

Определение1. Если в определителе 3-го порядка вычеркнуть ряды, содержащие элементы aij, оставшиеся элементы образуют определитель 2-го порядка, который называется минором элемента aij.

а₂₂ а₂₃

а₁₁ М₁₁= a_ij M_ij

а₃₂ а₃₃

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на (-1)i+j

aij Аij = (-1)i+j * Mij

для опреде для определителя любого порядка.

Например, a₂₁ А₂₁ = - M_21, a₃₁ А₃₁ = M₃₁

Теорема Лапласа. (Докажем для определителей 3-го порядка). Рассмотрим определитель ∆, сгруппировав попарно слагаемые, содержащие элементы какого-нибудь ряда, (например, 1-ой строки.)

∆ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₃₂а₁₃ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₂₃а₃₂а₁₁ - а₁₂а₂₃а₃₃ =

= а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

= а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

∆ = а11А11 + а12А12 + а13А13

Теорема. Всякий определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на свои алгебраические дополнения.