Параллельное соединение элементов контура

Для изучения явлений, наблюдаемых при параллельном соединении элементов контура (рис. 1,б), воспользуемся широко применяемым для расчета цепей переменного тока методом комплексных амплитуд.

Известно, что любой гармонический сигнал:

(3.1)

можно представить в комплексном виде:

(3.2)

где знак Im означает, что берется только мнимая часть выражения, заключенного в скобки; - комплексная амплитуда гармонического сигнала.

Представление гармонического сигнала в комплексном виде позволяет упростить рассмотрение процессов, происходящих в цепях переменного тока. Так как частота ω одна и та же для всех колебаний в цепи, то множитель e^{j ωt} можно не указывать, в этом случае закон Ома может быть записан не для мгновенных значений тока и напряжения в цепи, а для их комплексных амплитуд:

U = Z · I (3.3)

где U и I - комплексные амплитуды колебаний напряжения и тока в цепи соответственно; Z - комплексное сопротивление цепи, называемое импедансом. Если участок цепи содержит только активное сопротивление R, либо только конденсатор емкостью C, либо только катушку индуктивности L, то соответствующие выражения для импеданса имеют вид:

(3.4)

Зная эти соотношения и применяя законы Кирхгофа к цепям переменного тока, можно сформулировать следующее правило для расчета комплексного сопротивления цепи: поставить в соответствие каждому элементу цепи его комплексное сопротивление, а затем использовать правила вычисления суммарного сопротивления цепи для постоянного тока, т. е. при последовательном соединении сопротивления складываются, при параллельном - складываются обратные величины (проводимости).

Значение импеданса в общем виде может быть представлено в следующем виде:

(3.5)

где X и Y — соответственно активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления; - модуль импеданса; - фазовая характеристика импеданса.

Применим полученные соотношения для расчета цепи с параллельным соединением элементов контура (рис. 1,б). Импеданс цепи находится из следующего соотношения:

(3.6)

или

(3.7)

Умножая числитель и знаменатель (3.7) на , получаем:

(3.8)

При равенстве мнимой части импеданса нулю, т. е. при выполнении соотношения:

L(1-ω²LC)-CR²=0 (3.9)

сопротивление цепи эквивалентно омическому.

Решая уравнение (3.9) относительно ω, получаем:

(3.10)

где - собственная частота незатухающих колебаний в контуре; - добротность контура.

Можно показать, что в этом случае м одуль импеданса принимает максимальное значение, равное:

(3.11)

В настоящей работе для изучения резонанса в параллельном колебательном контуре используется генератор переменного тока I(t)=I₀ ∙e^jωt , где I₀ — амплитудное значение силы тока. Тогда значение комплексной амплитуды падения напряжения на контуре находится из соотношения:

(3.12)

– разность фаз между падением напряжения на контуре и током.

Для частоты падение напряжение на контуре будет максимальным:

а общий ток цепи минимален.

Можно рассчитать комплексную амплитуду силы тока, протекающего через конденсатор в этом случае (при Q>>1):

(3.13)

Таким образом, ток, протекающий через конденсатор, по модулю в Q раз больше тока, даваемого генератором. Это явление носит название резонанса тока. Присутствие мнимой единицы в выражении (3.13) означает, что ток через конденсатор и ток от генератора отличаются по фазе на .

Если активное сопротивление контура R равно нулю (идеальный контур), то результирующее значение тока Iвн во внешней цепи контура будет равно нулю, т. е. сопротивление идеального параллельного колебательного контура при резонансе бесконечно велико (Z_рез= ¥). Для проверки данного соотношения достаточно подставить выражение для (3.10) в формулу (3.8) с учетом равенства активного сопротивления нулю R=0. В реальном контуре часть энергии расходуется в активном сопротивлении, т. е. в контуре могут существовать только затухающие колебания и результирующий ток во внешней цепи не равен нулю, но достигает своего м инимального значения.

На рис.5 приведены резонансные кривые тока во внешней цепи I и напряжения параллельного колебательного контура Uк.